Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Obr. 6.9: K př. 6.12 a)

b) Jedná se o množinu mezi dvěma rotačními paraboloidy; vypočítáme rovnici kružnice,

ve které se tyto paraboloidy protnou:

z = x2 + y2

z = 2 − x2 − y2

)

⇒ x

2 + y2 = 2 − x2 − y2 ⇒

( x2 + y2 = 1

z = 1

– paraboloidy se protnou ve výšce z = 1 v jednotkové kružnici; průmětem množiny
M do roviny xy je jednotkový kruh. Dostáváme následující omezení:

(x, y, z) ∈ M ⇒

−1 ≤ x ≤ 1

−

√

1 − x2 ≤ y ≤

√

1 − x2

x2 + y2 ≤ z ≤ 2 − x2 − y2

6.1 Dvojný a trojný integrál

303

Obr. 6.10: K př. 6.12 b)

Integrály na měřitelných množinách

V této kapitole rozšíříme pojem dvojného a trojného integrálu na měřitelné množiny:

Definice 6.13. Řekneme, že funkce f : M → R,

M ⊂ R

2 (R3) je integrovatelná na

množině M , tj. že existuje integrál (Riemannův) z funkce f na množině M , existuje-li
interval I ⊂ R

2 (R3) tak, že M ⊂ I a funkce f · χM je na I integrovatelná.

Potom klademe

Z

M

f (x, y) dx dy =

Z

I

(f · χM )(x, y) dx dy

Z

M

f (x, y, z) dx dy dz :=

Z

I

(f · χM )(x, y, z) dx dy dz

.

Postačující podmínku pro existenci integrálu udává následující věta:

Věta 6.14. Je-li M ⊂ R

2 (R3) měřitelná množina a f : M → R je na M ohraničená a

skoro všude spojitá, pak je f na M integrovatelná.

(Připomeňme, že nějaké tvrzení platí na množině M skoro všude, jestliže platí
∀x ∈ M \ A ⊂ R

k a neplatí ∀x ∈ A , kde m

k (A) = 0 (tj. platí s výjimkou množiny nulové

míry).)

Vlastnosti vícerozměrného integrálu na měřitelné množině shrnuje následující věta:

Věta 6.15. Nechť M ⊂ R