Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

obory ohraničené shora a zdola spojitými funkcemi .)

Elementární oblast typu [x, y] lze charakterizovat geometricky: rovnoběžka s osou y vedená
libovolným vnitřním bodem oblasti protíná její hranici právě ve dvou bodech, z nichž jeden
leží na grafu funkce f a druhý na grafu funkce g.

300

Integrální počet II

Podobně je jistě možno definovat elementární oblast typu [y, x] ; je jí taková množina
v rovině, pro jejíž body (x, y) ∈ M platí nerovnosti

c ≤ y ≤ d

f (y) ≤ x ≤ g(y)

kde funkce f, g jsou spojité na intervalu hc, di .

Jak tyto pojmy zobecníme do trojrozměrného prostoru?
Předně průmět do některé ze souřadných rovin musí být elementární oblast v rovině;
mějme tedy množinu M ⊂ R

3 takovou, že pro její body (x, y, z) ∈ M platí a ≤ x ≤

≤ b, f1(x) ≤ y ≤ g1(x) - to znamená, že průmět množiny M do roviny xy je elementární
oblast typu [x, y] .
Dále je potřeba omezit z-ové souřadnice; zde se již mohou vyskytovat funkce dvou pro-
měnných. Tedy elementární oblastí typu [x, y, z] v prostoru rozumíme množinu M , pro
jejíž body (x, y, z) ∈ M platí

a ≤ x ≤ b

f1(x) ≤ y ≤ g1(x)

f2(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)

Podobně je možno definovat elementární oblasti typu [y, z, x],[z, y, x] atd.

Chceme-li tedy nějakou množinu M ⊂ R

3 popsat jako elementární oblast, promítneme ji

do některé souřadné roviny, průmět popíšeme jako elementární oblast (tedy ho promít-
neme do některé souřadné osy) a zbývající proměnnou omezíme dvěma funkcemi dvou
proměnných.

Příklad 6.11. Popíšeme některé oblasti v rovině pomocí nerovností:

a) Množina M ohraničená parabolou y = 2x − x2 a přímkou y = −x,