Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Příklad 6.17. Vypočítáme následující integrály:
a)
R
M
(x2 + y) dx dy, kde M je ohraničená přímkami y = 0, y = x, x + y = 2,
b)
R
M
(x − y) dx dy, kde M je ohraničená křivkami y = x2, y2 = x,
c)
R
M
y cos(z +x) dx dy dz, kde M je omezená plochami y =
√
x, y = 0, z = 0, x+z =
π
2 .
Řešení.
a) M je elementární oblast typu [y, x] popsaná nerovnostmi 0 ≤ y ≤ 1,
y ≤ x ≤ 2 − y;
Z
M
(x
2 + y) dx dy =
Z
1
0
dy
Z
2−y
y
(x
2 + y) dx =
Z
1
0
dy
x3
3
+ xy
2−y
x=y
=
306
Integrální počet II
=
Z
1
0
2
3
(4 − 3y − y
3) dy =
=
8
3
y − y
2 −
1
6
y
4
1
0
=
3
2
.
Obr. 6.12: K př. 6.17 a)
Z
M
(x−y) dx dy =
Z
1
0
dx
Z
√
x
x2
(x−y) dy =
=
Z
1
0
dx
xy −
y2
2
√
x
x2
=
=
Z
1
0
(x
3
2
−
x
2
− x
3 +
x4
2
) dx =
=
2
5
x
5
2
−
x2
4
−
x4
4
+
x5
10
1
0
= 0.
Obr. 6.13: K př. 6.17 b)
b)
c) Množina M je shora omezená rovinou x+z =
π
2 , dále souřadnými rovinami a parabolickou
válcovou plochou y =
√
x.
Obr. 6.14: K př. 6.17 c)
6.1 Dvojný a trojný integrál
307
Průmět do souřadné roviny xy je shora omezen grafem funkce y =
√
x, dále osou x
a přímkou x =
π
2 . Proto platí
Z
M
y cos(z + x) dx dy dz =
Z
π
2
0
dx
Z
√
x
0
y dy
Z
π
2
−x
0
cos(z + x) dz =
=
Z
π
2
0
(1 − sin x) dx
Z
√
x
0
y dy = · · · =
π2
16
−
1
2
Příklad 6.18. Vypočítáme objem množiny, která je průnikem dvou válců o poloměru 1,
z nichž jeden má osu rotace v ose x a druhý v ose y :
Obr. 6.15: Dva válce (včetně 3D)
Řešení. V obrázku si můžeme povšimnout, že průmět množiny do roviny z = 0 je jed-
notkový čtverec, a dále že množina je souměrná podle všech tří souřadných rovin a navíc
podle roviny y = x (a také podle y = −x). Vypočítáme tedy objem 1/16 zadané množiny
– té části, která leží v 1. oktantu (tedy x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) a jejíž průmět v 1. kvadrantu
leží pod přímkou y = x. Pro tuto množinu platí: