Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

• Je-li funkce f spojitá na I, potom je zde integrovatelná.

Dále jsme charakterizovali množiny různé od intervalů, přes které jsme schopni našimi

prostředky integrovat:

6.1 Dvojný a trojný integrál

309

• měřitelná množina:

množina M , pro kterou existuje I ⊃ M tak, že charakteris-

tická funkce χM je na tomto I integrovatelná, přitom

• míra množiny M :

je rovna integrálu z χM na tomto intervalu I.

Uvedli jsme některé vlastnosti měřitelných množin:

a) Je-li M ohraničená množina a mk(h(M )) = 0 (hranice má nulovou míru), pak M je

měřitelná v R

k .

b) Sjednocení a průnik konečného systému měřitelných množin je měřitelná množina.

c) Rozdíl dvou měřitelných množin je měřitelná množina.

d) Každá otevřená oblast G je měřitelná, každá uzavřená oblast je měřitelná a platí

mk(G) = mk(G).

Dále jsme se věnovali speciálnímu typu měřitelných množin a integrálům na těchto

množinách:

• elementární oblast typu [x, y]:

množina všech bodů (x, y) ∈ M ⊂ R

2, jejíž souřad-

nice vyhovují nerovnostem

a ≤ x ≤ b

d(x) ≤ y ≤ h(x)

kde a, b, a < b jsou čísla a d, h jsou funkce spojité na intervalu ha, bi,

• elementární oblast typu [y, x]:

množina všech bodů (x, y) ∈ M ⊂ R

2, jejíž souřad-

nice vyhovují nerovnostem

c ≤ y ≤ d

l(y) ≤ x ≤ p(y)

kde c, d, c < d jsou čísla a l, p jsou funkce spojité na intervalu hc, di.

Analogicky jsou definovány elementární oblasti v R

3, například:

• elementární oblast typu [x, y, z] v prostoru:

množina M , pro jejíž body

(x, y, z) ∈ M platí

a ≤ x ≤ b

d1(x) ≤ y ≤ h1(x)

d2(x, y) ≤ z ≤ h2(x, y)

Definovali jsme integrál funkce f na měřitelné množině M jako integrál ze součinu funkce
f a charakteristické funkce χM na intervalu I ⊃ M , tedy speciálně pro dvojrozměrný
případ: