Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

b) Množina M zadaná nerovností |x| ≤ y ≤ 2,

c) Množina M omezená grafy funkcí y = x, y = x3.

Řešení.

a) Parabola 2x − x2 má rovnici

y − 1 = −(x − 1)

2,

tedy vrchol v bodě (1, 1), otevřená směrem dolů. Průsečíky s přímkou y = −x jsou
v bodech (0, 0), (3, −3).

Pro (x, y) ∈ M tedy platí

0 ≤ x ≤ 3

−x ≤ y ≤ −x2 + 2x

.

b) Grafy funkcí y = |x| a y = 2 se protínají v bodech (−2, 2) a (2, 2). Platí

(x, y) ∈ M ⇒

(

−2 ≤ x ≤ 2

|x| ≤ y ≤ 2

6.1 Dvojný a trojný integrál

301

Obr. 6.6: K př. 6.11 a)

Obr. 6.7: K př. 6.11 b)

Výhodnější pro další výpočty je vyjádření jako elementární oblasti typu [y, x]:

(x, y) ∈ M ⇒

(

0 ≤ y ≤ 2

−y ≤ x ≤ y

c) Množina M v tomto případě není elemen-

tární oblast; dá se vyjádřit jako sjednocení
dvou elementárních oblastí, např. typu [x, y]:
M = M1 ∪ M2,
M1 = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x

3 ≤ y ≤ x }

M2 = { (x, y) | − 1 ≤ x ≤ 0, x ≤ y ≤ x

3 }

Obr. 6.8: K př. 6.11 c)

Příklad 6.12. Vyšetříme některé prostorové oblasti:

a) M omezená plochami 2x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0,

b) M omezená plochami z = x2 + y2, z = 2 − x2 − y2.

Řešení.

a) Rovina 2x + 2y + z = 6 protíná souřadné osy v bodech o souřadnicích

x = 3, y = 3, z = 6. Průmět množiny M do roviny xy je trojúhelník o vrcholech
(0, 0), (0, 3), (3, 0). Platí tedy

(x, y, z) ∈ M ⇒

0 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 3 − x

0 ≤ z ≤ 6 − 2x − 2y

302

Integrální počet II