Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

6.1 Dvojný a trojný integrál

299

Měřitelné množiny, elementární oblasti

Jistě není prakticky možné omezit se při integraci pouze na intervaly. V tomto odstavci
si budeme všímat těch množin, přes které budeme schopni našimi prostředky integrovat.

Definice 6.8. Mějme množinu M ⊂ R

k , k = 2, 3. Řekneme, že množina M je (Jorda-

novsky) měřitelná, tj. má (Jordanovu) míru mk(M ), jestliže pro nějaký interval I ⊃ M
existuje integrál z charakteristické funkce χM množiny M na intervalu I; potom klademe

mk(M ) :=

Z

I

χM (x, y, (z)) dx dy (dz).

Připomeňme, že charakteristická funkce množiny M je definovaná předpisem

χM (X) =

( 1 pro X ∈ M

0 pro X 6∈ M

.

Uvedeme některé vlastnosti měřitelných množin:

Věta 6.9.

a) Je-li M ohraničená množina a mk(h(M )) = 0 (hranice má nulovou

míru), pak M je měřitelná v R

k .

b) Sjednocení a průnik konečného systému měřitelných množin je měřitelná množina.

c) Rozdíl dvou měřitelných množin je měřitelná množina.

d) Každá otevřená oblast G je měřitelná, každá uzavřená oblast je měřitelná a platí

mk(G) = mk(G).

Právě pro měřitelné množiny, tedy takové, jejichž charakteristická funkce je integro-

vatelná, je obecně definován pojem n-rozměrného integrálu. My se speciálně zaměříme na
tak zvané elementární oblasti, které, jak uvidíme z definice (užitím předchozích tvrzení)
jsou měřitelné:

Definice 6.10. V rovině rozumíme elementární oblastí typu [x, y] množinu všech
bodů (x, y) ∈ M ⊂ R

2, jejichž souřadnice vyhovují nerovnostem

a ≤ x ≤ b

f (x) ≤ y ≤ g(x)

kde a, b, a < b jsou čísla a f, g jsou funkce spojité na intervalu ha, bi.

(V literatuře se tyto množiny také nazývají normální oblasti ve směru osy y nebo