Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤
√
1 − x2.
308
Integrální počet II
Potom
1
16
m3(M ) =
Z
1
0
dx
Z
x
0
dy
Z
√
1−x2
0
dz =
Z
1
0
dx
Z
x
0
√
1 − x2dy =
=
Z
1
0
√
1 − x2dx [y]
x
0 =
Z
1
0
x
√
1 − x2dx =
t = 1 − x
2, dt = −2x dx
=
= −
1
2
Z
0
1
t
1
2
dt =
1
2
2
3
t
3
2
1
0
=
1
3
.
Tedy m3(M ) =
16
3 .
K výpočtu vícerozměrných integrálů můžeme použít následující maplety: pro dvojné
integrály, pro trojné integrály.
Shrnutí
V této kapitole jsme rozšířili pojem určitého integrálu z ohraničené funkce na vícerozměrné
obory; nejdříve jsme definovali vícerozměrný (dvojný, trojný) integrál na intervalu.
Analogicky jako u určitého integrálu jsme nejdříve zavedli
• dělení intervalu I:
systém intervalů D = {I1, In}, jejichž sjednocením je inter-
val I a průnik libovolných dvou z těchto intervalů je množina, jejíž míra je rovna
nule (v případě dvojrozměrného intervalu je průnikem nanejvýš úsečka, v případě
trojrozměrného intervalu nanejvýš obdélník),
• normu dělení:
max(xi − xi−1), tj. největší z průměrů intervalů, které tvoří dělení
daného intervalu, přičemž
• průměr množiny
je největší možná vzdálenost dvou bodů dané množiny;
• dělení intervalu I s vybranými body:
v každém intervalu Ii je vybrán bod ξi,
• integrální součet funkce f příslušný dělení D:
S(D, f ) =
n
P
i=1
f (ξi)m(Ii),
• určitý integrál z funkce f na intervalu I:
číslo, které lze s libovolnou (předem
zvolenou) přesností aproximovat pomocí integrálních součtů.
Pro funkci f nezápornou na intervalu I ⊂ R
2 znamená
R
I
f (x, y) dx dy objem tělesa, které
vznikne z kolmého hranolu s podstavou v I omezením shora grafem funkce f .
Formulovali jsme postačující podmínku pro existenci určitého integrálu na intervalu: