Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

3. Nechť M = M1 ∪ M2, M, M1, M2 ⊂ R

2 jsou měřitelné množiny, f funkce spojitá

na M , f (x, y) ≥ 0 pro (x, y) ∈ M1 a f (x, y) ≤ 0 pro (x, y) ∈ M2. Interpretujte
geometricky

R

M

f (x, y) dx dy.

6.1 Dvojný a trojný integrál

311

4. V příkladu 6.1 jsme pro výpočet integrálních součtů S1, S2 zvolili vždy středy pří-

slušných intervalů. Vypočítejte pro stejnou funkci a dělení D1, D2 daného intervalu
integrální součty S1, S2 tak, že za vybrané body ξi zvolíte pravé horní rohy jednot-
livých intervalů a integrální součty S

1, S2, kdy za vybrané body ξi zvolíte levé dolní

rohy jednotlivých intervalů. Co můžeme na základě těchto výsledků říci o integrálu
z dané funkce na zadaném intervalu?

5. Nechť M je měřitelná množina v rovině, f : M → R, f (x, y) = 5 ∀(x, y) ∈ M. Co

můžeme říci o

R

M

f (x, y) dx dy?

6. Nechť I = h1, 5i × h1, 5i, f (x, y) je vzdálenost bodu (x, y) od osy y.

a) Odhadněte

R

I

f (x, y) dx dy pomocí integrálního součtu příslušného k dělení na

čtyři shodné čtverce, kde za vybrané body jsou zvoleny středy intervalů.

b) Ukažte, že platí 16 ≤

R

I

f (x, y) dx dy ≤ 80.

7. Nechť M je trojúhelník s vrcholy [0, 0], [0, 4], [4, 0], f (x, y) = x2y. Určete maximální

a minimální hodnotu funkce f na M a pomocí těchto hodnot určete horní a dolní
ohraničení pro hodnotu integrálu

R

M

x2y dx dy.

8. Načrtněte plochu o rovnici z =

px2 + y2.

a) Nechť V1 je oblast v prostoru omezená shora danou plochou a zdola čtvrtkru-

hem se středem v počátku a poloměrem 1. Nechť V1 je objem V1. Ukažte, že
V1 ≤ 1.