Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

b) Nechť V2 je oblast v prostoru omezená shora danou plochou a zdola čtvercem

s vrcholy [0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]. Nechť V2 je objem V2. Ukažte, že V2 ≤

√

2.

9. V sousedním obrázku je nakres-

leno několik vrstevnic funkce f
a interval

I = h0, 1i × h0, 1i.

Odhadněte shora a zdola

Z

I

f (x, y) dx dy.

Obr. 6.16: K cv. 9.

312

Integrální počet II

10. Analogicky jako u určitého integrálu se i u vícerozměrného integrálu zavádí tzv.

střední hodnota µ integrovatelné funkce f na měřitelné množině M pomocí před-
pisu

µ =

R

M

f (X) dX

R

M

dX

(ve jmenovateli je míra množiny M ).

Odhadněte střední hodnotu funkce f z příkladu 6.1 tak, že integrál odhadnete po-
mocí vypočítaných integrálních součtů.

11. Podobně jako v předchozí úloze odhadněte střední hodnoty funkcí z úloh 4., 5. a 6.

12. Hodnota integrálu může být odhadnuta také pomocí náhodných čísel generovaných

počítačem, což demonstrujeme na následující úloze: Nechť jistá komplikovaná mno-
žina M leží uvnitř čtverce s vrcholy [0, 0], [0, 2], [2, 0], [2, 2] a nechť je na této množině
definovaná komplikovaná funkce. Pomocí počítače vygenerujeme 100 náhodných
bodů (x, y) v tomto čtverci. 73 z těchto bodů padne do M . Aritmetický průměr
z funkčních hodnot funkce f v těchto 73 bodech je 2,31.

a) Jaký je rozumný odhad plošného obsahu množiny M ?

b) Jaký je rozumný odhad

R

M

f (x, y) dx dy ?

Poznamenejme, že metody, při kterých se využívají k výpočtům náhodná čísla, se
obvykle nazývají metody Monte Carlo. Tyto metody nejsou příliš efektivní, protože
chyba klesá v řádu 1/

√

n.

6.1 Dvojný a trojný integrál

313

Cvičení

1. Vypočítejte

R

I

f (x, y) dx dy pro dané funkce f na daných intervalech I: