Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

,

A : x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1,

c)

f (x, y, z) = xyz,

A : x2 + y2 + z2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0, v I. oktantu,

d) f (x, y, z) = z,

A : z2 =

h2

R2 (x

2 + y2), z = h.

Výsledky

1. a) 1, b)

4
9

(ab)3/2, c)

3
2

, d) (e − 1)2, e)

π

12

, f) ln

25
24

, g) ln

4
3

, i) ln

2+

√

2

1+

√

3

, j) 2; 2. a) 16, b) −342, c) −

2
3

, d) −32, e)

104

3

(2

√

2 − 1), f) 3(a − 1)2 ln a, g)

1
3

(e3 − 1)(e2 − 1)(e − 1), h) 0;

3. a)

2
3

, b) 6b3, c)

4
3

, d)

33

4

, e) 0, f) ln 2, g)

1
2

, h)

1225

64

, i) 24π, j)

3π

2

;

5. a)

π

15

(2

√

2 − 1), b)

3
2

− 2 ln 2, c) π

4

abc2, d)

59

480

πR5; 6. a)

5
6

ab3 −

1
4

a2b2, b)

1

16

(8 ln 2 − 5), c)

1

48

, d)

1
4

πh2R2.

316

Integrální počet II

6.2

Transformace integrálů

Připomeňme, jak se počítal určitý integrál pomocí věty o substituci – stručně můžeme
formulovat tuto větu takto:

Nechť f je integrovatelná funkce na intervalu ha, bi, ϕ diferencovatelná funkce. Potom

Z

b

a

f (x) dx =

x = ϕ(t)

dx = ϕ0(t) dt

=

Z

β

α

f (ϕ(t)) ϕ

0(t) dt,

přitom nové meze jsme obdrželi jako řešení rovnic a = ϕ(t), b = ϕ(t); tedy je-li ϕ prosté
zobrazení, je hα, βi = { t | a ≤ ϕ(t) ≤ b },

neboli

hα, βi = ϕ−1 ( ha, bi )

– úplný vzor

intervalu ha, b i.

Analogicky se bude postupovat u transformací vícerozměrných integrálů, ovšem integrační
obory již budou složitější a cílem při transformaci bude hlavně zjednodušit integrační
obor – v určitém integrálu jsme zaváděli substituci, abychom zjednodušili integrand ( k
tomu budeme jistě přihlížet také).

Věta o transformaci vícerozměrného integrálu má tedy následující tvar:

Věta 6.19. Nechť je dána množina M ⊂ R