Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
√
3
⇒
⇒
ρ cos ϕ ≤ ρ sin ϕ ≤
√
3 ρ cos ϕ
⇒
⇒
1 ≤ tg ϕ ≤
√
3
(cos ϕ ≥ 0, protože jinak by vyšlo 1 ≥
√
3).
Obr. 6.18: Výseč mezikruží
Dostáváme tedy
Φ
−1(M) =
n
(ρ, ϕ) | 1 ≤ ρ ≤ 2,
π
4
≤ ϕ ≤
π
3
o
V polárních souřadnicích je tedy integrační obor interval. Pro zadaný integrál do-
stáváme
Z
M
x y
2 dx dy =
Z
Φ−1(M )
ρ cos ϕ ρ
2 sin2 ϕ ρ dρ dϕ =
Z
2
1
ρ
4 dρ
Z
π
3
π
4
sin
2 ϕ cos ϕ dϕ =
6.2 Transformace integrálů
319
=
1
5
ρ
5
2
1
1
3
sin
3 ϕ
π
3
π
4
=
31
120
3
√
3 − 2
√
2
.
b) Hranicí množiny je kružnice se středem posu-
nutým po ose x;
Je tedy x2+y2 ≤ 2x ⇒ ρ ≤ 2 cos ϕ; přičemž ρ
je nezáporná souřadnice, tedy 0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ,
odkud dále plyne 0 ≤ cos ϕ ⇒ −
π
2 ≤ ϕ ≤
π
2 .
Obr. 6.19: Posunutý kruh
Φ
−1(M) =
n
(ρ, ϕ) | 0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ, −
π
2
≤ ϕ ≤
π
2
o
Z
M
p
x2 + y2 dx dy =
Z
Φ−1(M )
ρ · ρ dρ dϕ =
Z
π
2
− π
2
dϕ
Z
2 cos ϕ
0
ρ
2 dρ =
=
Z
π
2
− π
2
dϕ
1
3
ρ
3
2 cos ϕ
0
=
8
3
Z
π
2
− π
2
(1 − sin
2 ϕ) cos ϕ dϕ =
=
8
3
sin ϕ −
1
3
sin
3 ϕ
π
2
− π
2
=
32
9
.
c) M je stejná jako v předchozím příkladě, ale tentokrát se integrand užitím polárních
souřadnic nezjednoduší; budeme postupovat jinak.
Nejdříve posuneme počátek souřadnic do středu kruhu a až potom použijeme polární
souřadnice; půjde tedy o transformaci
Φ = (1 + ρ cos ϕ, ρ sin ϕ),
|Φ
0| = ρ,
x
2 + y2 ≤ 2x ⇔ 1 + 2ρ cos ϕ + ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ ≤ 2 + 2ρ cos ϕ ⇔ ρ2 ≤ 1
Na souřadnici ϕ nevyšlo žádné omezení, platí tedy
Φ
−1(M) = { (ρ, ϕ) | 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π} .