Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Φ
−1(M) =
n
(r, ϕ, ϑ) | 0 ≤ r ≤ cos ϑ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤
π
2
o
;
Z
M
p
x2 + y2 + z2 dx dy, dz =
Z
Φ−1(M )
r · r
2 sin ϑ dr dϕ dϑ =
=
Z
2π
0
dϕ
Z
π
2
0
sin ϑ dϑ
Z
cos ϑ
0
r
3 dr = 2π
Z
π
2
0
sin ϑ dϑ
1
4
r
4
cos ϑ
0
=
=
π
2
Z
π
2
0
cos
4 ϑ sin ϑ dϑ =
π
2
−
1
5
cos
5 ϑ
π
2
0
=
π
2
Příklad 6.23. Vypočítáme objem části jednotkové koule, která leží mezi rovinami o
rovnicích x =
√
3y a y =
√
3x („dílek pomerančeÿ)
Řešení. Vyjádříme rovnice rovin ve sférických souřadnicích:
x =
√
3y
⇒
r cos ϕ sin ϑ =
√
3r sin ϕ sin ϑ
⇒
tg ϕ =
√
3
3
y =
√
3x
⇒
r sin ϕ sin ϑ =
√
3r cos ϕ sin ϑ
⇒
tg ϕ =
√
3
Pro r zřejmě platí 0 ≤ r ≤ 1, pro ϑ jsme
nedostali žádné omezení.
V =
Z
M
1 dx dy dz =
Z
Φ−1(M )
r
2 sin ϑ dr dϕ dϑ
kde pro M platí:
0 ≤ r ≤ 1,
π
6
≤ ϕ ≤
π
3
, 0 ≤ ϑ ≤ π.
Obr. 6.25:
V =
Z
π
3
π
6
dϕ
Z
π
0
dϑ
Z
1
0
r
2 sin ϑ dr =
Z
π
3
π
6
dϕ
Z
π
0
sin ϑ dϑ
Z
1
0
r
2 dr =
= [ϕ]
π
3
π
6
· [− cos ϑ]
π
0 ·
1
3
r
3
1
0
=
2
9
π
326
Integrální počet II
Pro integraci pomocí sférických souřadnic můžeme použít tento maplet.
Shrnutí
V této kapitole jsme uvedli větu o transformaci v určitém integrálu 6.19, pomocí
které převedeme integrál v kartézských souřadnicích na integrál v jiných vhodných
souřadnicích, které mohou obor integrace podstatně zjednodušit.
Uvedli jsme zejména
• polární souřadnice:
Φ(ρ, ϕ) = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ); přitom platí
Z
A
f (x, y) dx dy =
Z
Φ−1(A)
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ρ dρ dϕ,
• cylindrické souřadnice:
Φ(ρ, ϕ, z) = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z); přitom platí
Z
A
f (x, y, z) dx dy dz =
Z
Φ−1(A)
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) ρ dρ dϕ dz,