Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

4. Pomocí transformace do sférických souřadnic vypočítejte

R

A

f (x, y) dx dy dz pro dané

funkce f na množinách A, které jsou popsány danými nerovnostmi resp. ohraničené

328

Integrální počet II

danými plochami:

a) f (x, y, z) =

px2 + y2 + z2, A : x2 + y2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,

b) f (x, y, z) = x2 + y2,

A : 4 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 9, z ≥ 0,

c)

f (x, y, z) = z,

A : z2 = x2 + y2, z = 1.

Výsledky

1. a) 2π, b)

πa

4

8

, c)

a

3

3

(π −

4
3

), d)

π

8

(π − 2), e) 2π, f) −6π2, g)

π

2

6

;

2. a) a2(

π

2

− 1), b) 1, c) 5π

8

;

3. a) 3π, b)

32

9

, c)

16π

3

;

4. a)

π

8

, b)

844π

15

, c)

π

4

.

329

7

Dodatek: Geometrie

V této závěrečné části shrneme základy o lineárních a kvadratických útvarech v rovině a
prostoru - přímkách, rovinách, kuželosečkách a kvadrikách.

7.1

Bodové eukleidovské prostory

Připomeňme, že eukleidovský vektorový prostor je vektorový prostor konečné dimenze,
ve kterém je definován skalární součin. Prvky dvoj- resp. trojrozměrného eukleidovského
vektorového prostoru se dají představit jako šipky s počátečním koncem v pevném bodě,
přičemž jaký je to bod se neuvádí. Při interpretaci aritmetických operací s těmito šipkami
je možné v případě potřeby je různě přemisťovat do jiných bodů – tedy se vlastně sou-
časně uvažoují body i vektory (šipky). V následující definici tuto intuitivní interpretaci
precizujeme:

Definice 7.1. Nechť V je eukleidovský vektorový prostor, E množina taková, že pro
každý vektor v ∈ V je určena bijekce množiny E : X 7→ X + v pro niž platí:

1. ∀X, Y ∈ E ∃! v ∈ V, Y = X + v

2. (X + u) + v = X + (u + v).