Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
⇒
c = 7, tedy hledaná přímka má
obecnou rovnici x − 2y + 7 = 0.
b) Postupujeme obdobně jako v předchozím případě; normálový vektor zadané přímky
je směrovým vektorem hledané kolmice:
Parametrická rovnice hledané kolmice má tvar X = A + nt, t ∈ R, v souřadnicích
x = −3 + t
y = 2 − 2t
t ∈ R.
Obecná rovnice: 2x + y + c = 0 ∧ [x, y] = [−3, 2]
⇒
c = 4, tedy 2x + y + 4 = 0.
Příklad 7.8. Máme určit vztah pro výpočet vzdálenosti bodu X = [x0, y0] od přímky s
obecnou rovnicí ax + by + c = 0 .
Řešení. Hledaná vzdálenost d bude rovna vzdálenosti daného bodu X od průsečíku P
dané přímky s přímkou na ni kolmou a procházející bodem X.
Kolmice má směrový vektor n = (a, b) – je to normálový vektor dané přímky – a para-
metrické rovnice
x = x0 + t a
y = y0 + t b
t ∈ R.
Hledejme hodnotu parametru t, pro který příslušný bod kolmice leží současně na dané
přímce:
a(x0 + t a) + b(y0 + t b) + c = 0
⇒
t = −
ax0 + by0 + c
a2 + b2
,
takže pro souřadnice průsečíku P platí:
xp = x0 −
a
a2 + b2
(ax0 + by0 + c),
yp = y0 −
b
a2 + b2
(ax0 + by0 + c).
Pro hledanou vzdálenost platí
d = kX − P k =
q
(xp − x0)2 + (yp − y0)2 =
336
Dodatek: Geometrie
=
s
a
a2 + b2
2
(ax0 + by0 + c)2 +
b
a2 + b2
2
(ax0 + by0 + c)2 =
|ax0 + by0 + c|
√
a2 + b2
.
Je-li ax + by + c = 0 rovnice přímky, je pro libovolné α ∈ R αax + αby + αc = 0 zřejmě
rovnicí téže přímky. Jestliže položíme α =
1
knk =
1
√
a2+b2
, dostaneme tzv. normálový
tvar rovnice přímky
a
√
a2 + b2
x +
b
√