Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Protože bod B = [5, 4, 2] leží v hledané rovině, musí platit

a(5 − 4) + b(4 − 2) + c(2 − 1) = 0

⇒

a + 2b + c = 0.

Dostali jsme homogenní soustavu rovnic

a − b + 2c = 0
a + 2b + c = 0

a ta má řešení k(−5, 1, 3). Položme k = −1 a dostaneme a = 5, b = −1, c = −3 a
hledaná rovnice roviny je tedy

5(x − 4) − (y − 2) − 3(z − 1) = 0

⇔

5x − y − 3z − 15 = 0.

Příklad 7.11. Máme vypočítat výšku spuštěnou z vrcholu V čtyřstěnu na jeho stěnu
ABC, je-li V = [1, 5, 5], A = [4, 4, 4], B = [−1, 10, −4], C = [2, −2, 5].

Řešení. Hledanou výšku vypočítáme jako vzdálenost bodu V od roviny ρ dané třemi
body A, B, C. Rovnice roviny má tvar

x − 4 y − 4 z − 4

−5

6

−8

−2

−6

1

= 0

⇔

2x − y − 2z + 4 = 0.

Pro hledanou vzdálenost platí

v =

|2 · 1 − 5 − 2 · 5 + 4|

√

4 + 1 + 4

= 3.

Přímka

Je-li v E3

A = [a1, a2, a3], u = (u1, u2, u3) a označíme-li X = [x, y, z], má parametrická

rovnice přímky tvar

[x, y, z] = [a1, a2, a3] + t(u1, u2, u3) = [a1 + t u1, a2 + t u2, a3 + t u3]

340

Dodatek: Geometrie

a podmínky pro rovnost jednotlivých souřadnic bodů na levé a pravé straně rovnice dávají
známé parametrické rovnice přímky v prostoru:

x = a1 + t u1
y

= a2 + t u2

z

= a3 + t u3

t ∈ R.

Ze tří parametrických rovnic přímky v prostoru nemůžeme parametr eliminovat tak,

aby vyšla jedna rovnice. Vyjádřením t z parametrických rovnic a porovnáním pravých
stran dostaneme

x − a1

u1

=

y − a2

u2

=

z − a3

u3

,

což jsou tzv. kanonické rovnice přímky.