Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Je-li u = B − A, v = C − A, říkáme, že rovina o rovnici

X = A + t1(B − A) + t2(C − A), t1, t2 ∈ R

je určena třemi body.

Přímky a body v E2

V E2 mají parametrické rovnice přímky tvar

x = a1 + t u1
y

= a2 + t u2

t ∈ R;

jestliže první rovnici násobíme číslem u2, druhou číslem u1 a rovnice odečteme, vyloučíme
„parametrÿ t a dostaneme

u2(x − a1) − u1(y − a2) = 0

⇔

(u2, −u1) · X − A = 0;

tedy libovolný vektor, jehož počátečním bodem je bod A a koncový bod leží na vyšetřo-
vané přímce je ortogonální s vektorem n = (a, b) = (u2, −u1) . Tento vektor se nazývá
normálový vektor přímky.

Předchozí úpravou jsme dostali tzv. obecnou rovnici přímky v rovině, která má tvar

ax + by + c = 0,

kde

a = u2, b = −u1 a c = a2u1 − a1u2.

Poznamenejme, že množina bodů v rovině tvaru

p = { [x, y] | ax + by = −c }

je taková podmnožina roviny, pro jejíž body nabývá výraz

ax + by =

 a b 

 x

y

hodnoty −c. Tento výraz se někdy nazývá lineární forma.

7.2 Lineární útvary v bodových prostorech

335

Příklad 7.7. Je dána přímka p : x − 2y − 1 = 0. Máme najít rovnici přímky, která
prochází bodem A = [−3, 2] a je

a) rovnoběžná s přímkou p,

b) kolmá na přímku p.

Řešení.

a) Přímka p má normálový vektor n = (a, b) = (1, −2), přímka s ní rovno-

běžná má stejný normálový vektor. Směrový vektor obou přímek u má tedy souřad-
nice u = (2, 1). Parametrická rovnice hledané přímky má tvar X = A + ut, t ∈ R, v

souřadnicích

x = −3 + 2t
y = 2 + t

t ∈ R.

Obecnou rovnici hledané přímky můžeme bezprostředně najít takto:
Budeme hledat c tak, aby přímka x − 2y + c = 0 procházela bodem A. Po dosazení
souřadnic bodu A dostaneme −3 − 4 + c = 0