Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

a1x + b1y = −c1
a2x + b2y = −c2
a3x + b3y = −c3

,

ta má podle Frobeniovy věty řešení právě když hodnost matice soustavy (která je nejvýš
dvě) je stejná jako hodnost rozšířené matice soustavy. Ale

h

a1 b1 −c1
a2 b2 −c2
a3 b3 −c3

= h

a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3

≤ 2

⇒

a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3

= 0.

Roviny, přímky a body v E3

Rovina

Je-li v E3

A = [a1, a2, a3], u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) a označíme-li

X = [x, y, z], má parametrická rovnice roviny tvar

[x, y, z] = [a1, a2, a3] + t1(u1, u2, u3) + t2(v1, v2, v3) =

= [a1 + t1 u1 + t2 v1, a2 + t1 u2 + t2 v2, a3 + t1 u3 + t2 v3]

a podmínky pro rovnost jednotlivých souřadnic bodů na levé a pravé straně rovnice dávají
ze střední školy známé parametrické rovnice roviny v prostoru:

x = a1 + t1 u1 + t2 v1
y

= a2 + t1 u2 + t2 v2

z

= a3 + t1 u3 + t2 v3

t1, t2 ∈ R.

Z parametrických rovnic vyloučíme parametry; například z první a druhé rovnice a

z druhé a třetí rovnice vyloučíme t1, z takto vzniklých dvou rovnic potom vyloučíme t2

338

Dodatek: Geometrie

(obdobným postupem jako při eliminaci parametru z parametrických rovnic přímky –
rovnice násobíme vhodným číslem a potom je odečteme); po úpravě dostaneme

(x − a1)(u3v2 − u2v3) + (y − a2)(u1v3 − u3v1) + (z − a3)(u2v1 − u1v2) = 0 ⇔

⇔

x − a1 y − a2 z − a3

u1

u2

u3

v1

v2

v3

= 0

⇔

(X − A) · (u × v) = 0

tedy libovolný vektor, jehož počátečním bodem je bod A a koncový bod leží na vyšetřované
rovině je ortogonální s vektorem

n = u × v = (a, b, c) = (u3v2 − u2v3, u1v3 − u3v1, u2v1 − u1v2).