Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Přímku v prostoru můžeme zadat také jako průsečnici dvou různoběžných rovin. Mějme
tedy dvě roviny o rovnicích

a1x + b1y + c1z + d1 = 0
a2x + b2y + c2z + d2 = 0

,

kde

h

 a

1

b1 c1

a2 b2 c2

= 2.

Potom tyto rovnice nazýváme obecnými rovnicemi přímky, která je průsečnicí rovin
s těmito rovnicemi. Směrový vektor této přímky určíme jako vektorový součin normálo-
vých vektorů obou rovin:

u = (a1, b1, c1) × (a2, b2, c2).

Příklad 7.12. Najděme přímku, ve které leží výška čtyřstěnu z příkladu 7.11 a její prů-
sečík s podstavou:

Řešení. Hledaná přímka je kolmá na podstavu čtyřstěnu, která leží v rovině o rovnici
2x − y − 2z + 4 = 0. Normálový vektor této roviny n = (2, −1, −2) bude směrovým
vektorem hledané kolmice; ta navíc prochází vrcholem V = [1, 5, 5]. Přímka má tedy
parametrické rovnice

X = V + nt, t ∈ R

⇔

x = 1 + 2t
y = 5 − t
z = 5 − 2t

,

t ∈ R.

Průsečík P najdeme tak, že určíme hodnotu parametru t, pro kterou je bod kolmice
současně bodem roviny 2x − y − 2z + 4 = 0 – dosadíme pravé strany parametrických
rovnic kolmice:

2(1 + 2t) − (5 − t) − 2(5 − 2t) + 4 = 0

⇒

t = 1,

P = [3, 4, 3].

Vypočítejme ještě vzdálenost bodů V a P – velikost vektoru V − P :

kV − P k =

p

(1 − 3)2 + (5 − 4)2 + (5 − 3)2 =

√

4 + 1 + 4 = 3.

Pochopitelně jsme dospěli ke stejnému výsledku jako v příkladu 7.11.

7.2 Lineární útvary v bodových prostorech

341

Otázky a úkoly

1. Jak definujeme přímku v En?

2. Čím může být zadána přímka v rovině? V prostoru?

3. Jaké typy rovnic přímky v rovině znáte a jaký je mezi nimi vztah?