Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

π

4 .

11. Najděte vzdálenost daného bodu od dané roviny:

a) [0, 0, 0], 2x − 4y + 3z + 2 = 0 b)

[1, 2, 3] x + 2y − 3z + 5 = 0

c) [2, 2, −1], rovina prochází bodem [1, 4, 3] a má normálový vektor (2, −7, 2)

d) [0, 0, 0], rovina prochází bodem [4, 1, 0] a je rovnoběžná s vektorem (1, 1, 1).

12. Je dána rovina ρ o rovnici 6x − 2y + 3z − 14 = 0. Najděte bod A, který

(a) leží na ose y a jeho vzdálenost od roviny ρ je rovna 4,

(b) leží na ose x a jeho vzdálenost od roviny ρ je rovna jeho vzdálenosti od bodu

B = [4, 2,

√

3],

(c) leží na ose z a jeho vzdálenost od roviny ρ je rovna jeho vzdálenosti od roviny

2x − 2y + z − 8 = 0.

13. Najděte souřadnice těžiště trojúhelníku s vrcholy A = [2, −1, 5], B = [3, 6, 15], C =

= [−5, −2, 7].

14. Zjistěte, zda trojúhelník ABC je pravoúhlý nebo rovnoramenný:

(a) A = [2, −1, 5], B = [6, 1, −2], C = [5, 0, 7]

(b) A = [2, −1, 5], B = [6, 1, 9], C = [4, 3, 9]

15. Krychle se stranou délky a má jeden vrchol v počátku souřadné soustavy prostoru

E3, tři její stěny leží v souřadných rovinách a souřadnice vrcholů jsou nezáporné.
Najděte souřadnice vrcholů

(a) dané krychle,

(b) pravidelného čtyřstěnu vepsaného do této krychle,

(c) pravidelného osmistěnu vepsaného do této krychle.

Pozn.: Pravidelná tělesa mají všechny hrany stejně dlouhé.

16. Na ose x najděte všechny body, jejichž vzdálenost od bodu A = [−4, 6, 6] je rovna

12.

17. Na ose y najděte všechny body, jejichž vzdálenost od bodů A = [−4, 1, 7] a B =

= [3, 5, −2] je stejná.