Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
345
7.3
Kvadratické útvary v bodových prostorech
Poznámka o lineárních a kvadratických formách
V poznámce před příkladem ?? v minulém odstavci jsme se zmínili o tom, že výraz
tvaru ax + by se někdy nazývá lineární forma; podobně výraz tvaru ax2 + bxy + cy2 se
nazývá kvadratická forma. Podobné výrazy, jak víme, vystupují v rovnicích kuželoseček.
Pro možnost jednoduššího vyjadřování při popisu kvadratických útvarů pojmy lineární a
kvadratické formy zavedeme.
Definice 7.13. Lineární zobrazení vektorového prostoru do prostoru reálných čísel
f : R
n → R se nazývá lineární forma.
Je-li A = (a1, a2, ..., an) báze prostoru R
n, x ∈ Rn, x = x1a1 + x2a2 + · · · + xnan,
f (x) = x1f (a1) + x2f (a2) + · · · + xnf (an), αi = f (ai), i = 1, ..., n, potom
f (x) = α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn
se nazývá analytické vyjádření lineární formy a vektor (α1, α2, ...αn) se nazývá
vektor souřadnic lineární formy vzhledem k bázi A. V maticovém zápise je
f (x) =
α
1
· · · αn
·
x1
..
.
xn
.
Poznamenejme, že vektor souřadnic lineární formy chápaný jako matice typu (1, n) je
maticí příslušného lineárního zobrazení.
Je-li A0 = (a01, a
0
2, ..., a
0
n) jiná báze prostoru
R
n, x = x0
1a
0
1 + x
0
2a
0
2 +
· · · + x0
na
0
n,
f (x) =
α0
1
· · · α0
n
·
x0
1
..
.
x0
n
,
x0
1
..
.
x0
n
= P ·
x1
..
.
xn
,
P matice přechodu, potom
f (x) =
α0
1
· · · α0
n
· P ·
x1
..
.
xn
,
tedy (α0
1, α
0
2, ...α
0
n) · P = (α1, α2, ...αn),
neboli
α1
..
.
αn
= PT ·
α0
1
..
.
α0
n
.
Příklad 7.14. f : R
3 → R, (x, y, z) 7→ ax + by + cz, kde a, b, c ∈ R je lineární forma. V
maticovém zápisu