Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

a2 + b2

y +

c

√

a2 + b2

= a

0x + b0y + c0 = 0,

kde |c0| = d – vzdálenost přímky od počátku souřadnic.

Vzájemnou polohu dvou přímek daných obecnými rovnicemi

p1 : a1x + b1y + c1 = 0
p2 : a2x + b2y + c2 = 0

vyšetříme zkoumáním řešitelnosti soustavy lineárních rovnic

a1x + b1y = −c1
a2x + b2y = −c2

.

Přímky jsou různoběžky právě když existuje společný bod – průsečík, tedy právě když
soustava má jedno řešení. Z Frobeniovy věty vyplývá, že v tomto případě musí být hodnost
matice soustavy rovna dvěma, tedy musí platit

a1 b1
a2 b2

6= 0.

Jinak řečeno, normálové vektory přímek jsou lineárně nezávislé.

Přímky jsou rovnoběžky právě když neexistuje společný bod, tedy právě když soustava
nemá řešení. Z Frobeniovy věty vyplývá, že v tomto případě musí být hodnost matice
soustavy menší než hodnost rozšířené matice soustavy; tedy

h

 a

1

b1

a2 b2

= 1

⇒

a1 b1
a2 b2

= 0

a zároveň

h

 a

1

b1 c1

a2 b2 c2

= 2.

Jinak řečeno, normálové vektory přímek jsou lineárně závislé.

Přímky jsou totožné (splývají), právě když má soustava nekonečně mnoho řešení. Z Fro-
beniovy věty vyplývá, že v tomto případě musí být hodnost matice soustavy i hodnost
rozšířené matice soustavy rovna jedné, tedy všechny subdeterminanty druhého řádu roz-
šířené matice soustavy musí být nulové.

7.2 Lineární útvary v bodových prostorech

337

Příklad 7.9. Tři přímky v rovině jsou dány obecnými rovnicemi

p1 : a1x + b1y + c1 = 0
p2 : a2x + b2y + c2 = 0
p3 : a3x + b3y + c3 = 0

Máme ukázat, že se tyto přímky protínají v jednom bodě, právě když platí:

a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3

= 0.

Řešení. Přímky se protnou v jednom bodě, jestliže soustava sestavená z jejich rovnic
bude mít právě jedno řešení. Jedná se ale o nehomogenní soustavu tří rovnic pro dvě
neznámé: