Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

px2 + y2

– rotační kuželové plochy s osou rotace v ose z.

Geometricky znamená pro daný bod sférická souřadnice r vzdálenost tohoto bodu od

počátku souřadnic, sférická souřadnice ϕ úhel, který svírá rovina procházející tímto bodem
a osou z se souřadnou rovinou xz (s polorovinou pro kladné y) a sférická souřadnice ϑ
úhel, který svírá průvodič daného bodu (spojnice s počátkem) s kladným směrem osy z.

324

Integrální počet II

Příklad 6.22. Pomocí transformace do sférických souřadnic vypočteme trojné integrály
z funkce

f (x, y, z) =

p

x2 + y2 + z2

přes dané množiny M :

a) M je popsána nerovnostmi x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥

px2 + y2,

b) M je popsána nerovností x2 + y2 + z2 ≤ z.

Řešení. a)

První nerovnost zřejmě po-
pisuje kouli o poloměru 1,
dostáváme omezení

0 ≤ r ≤ 1;

druhou nerovnost transfor-
mujeme pomocí sférických
souřadnic:

Obr. 6.24: Průnik koule a kužele (včetně 3D)

z ≥

p

x2 + y2 ⇒ r cos ϑ ≥

q

r2 cos2 ϕ sin

2 ϑ + r2 sin2 ϕ sin2 ϑ ⇒

⇒ cos ϑ ≥ sin ϑ (≥ 0) ⇒ tg ϑ ≤ 1 ⇒ ϑ ≤

π

4

Platí tedy

Φ

−1(M) =

n

(r, ϕ, ϑ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤

π

4

o

– ve sférických souřadnicích je integrační obor interval, a dále

Z

M

p

x2 + y2 + z2 dx dy, dz =

Z

Φ−1(M )

r · r

2 sin ϑ dr dϕ dϑ =

=

Z

2π

0

dϕ

Z

π

4

0

sin ϑ dϑ

Z

1

0

r

3 dr = [ ϕ ]

2π
0

[− cos ϑ ]

π

4

0

 1

4

r

4

1

0

=

π

4

(2 −

√

2).

b) Množina M je koule o poloměru

1
2 se středem v bodě (0, 0,

1
2 ) .

x

2 + y2 + z2 ≤ z ⇒ r ≤ cos ϑ (r ≥ 0) ⇒ cos ϑ ≥ 0 ⇒ 0 ≤ ϑ ≤

π

2

;

6.2 Transformace integrálů

325

Ve sférických souřadnicích tedy pro integrační obor platí