Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Polární souřadnice

Nejčastěji užívanou transformací v rovině je zobrazení pomocí polárních souřadnic.

Transformační rovnice mají tvar

 x = ρ cos ϕ

y = ρ sin ϕ

,

jedná se tedy o zobrazení

Φ : h0, ∞) × h0, 2πi → R

2,

Φ(ρ, ϕ) = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ),

|Φ

0| =

cos ϕ −ρ sin ϕ

sin ϕ

ρ cos ϕ

= ρ.

Obr. 6.17: Plošný element pol. souřadnic

V polárních souřadnicích se tedy „plošný elementÿ dx dy transformuje na ρ dρ dϕ.

Souřadnicové čáry, tedy křivky, na kterých jsou nové proměnné konstantní, jsou popsány
následujícím způsobem:

318

Integrální počet II

1. ρ = ρ0 =konst. (souřadnicové čáry proměnné ϕ – ϕ-křivky )

jsou soustředné kružnice x2 + y2 = ρ2

0,

2. ϕ = ϕ0 =konst. (souřadnicové čáry proměnné ρ – ρ-křivky )

jsou přímky procházející počátkem y = tgϕ0 x.

Proto jsou polární souřadnice vhodné v případech, kdy integrační obor ohraničují takové
křivky.

Příklad 6.20. Užitím polárních souřadnic vypočteme dvojné integrály z daných funkcí
f přes dané množiny M :

a) f (x, y) = x y2,

M =

 (x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≤ y ≤ x

√

3

  ,

b) f (x, y) =

px2 + y2, M = { (x, y) | x2 + y2 ≤ 2x } ,

c)

f (x, y) = x,

M = { (x, y) | x2 + y2 ≤ 2x } .

Řešení.

a) Množina M je výseč mezikruží, kterou bychom při integraci v kartézských

souřadnicích museli rozdělit na tři elementární oblasti; v polárních souřadnicích je
omezena právě souřadnicovými čarami. Transformujme nerovnosti, pomocí kterých
je množina M omezená:

1 ≤ x

2 + y2 ≤ 4

⇒

1 ≤ ρ

2 ≤ 4

⇒

⇒ 1 ≤ ρ ≤ 2

(ρ je nezáporná souřadnice – vzdálenost od
počátku)

x ≤ y ≤ x