Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n je měřitelná množina, f, g : M → R integrovatelné funkce.
Potom platí:
1.
R
M
cf (X) dX = c
R
M
f (X) dx,
304
Integrální počet II
Obr. 6.11: Fubiniova věta pro elementární oblast
2.
R
M
[f (X) + g(X)] dX =
R
M
f (X) dX +
R
M
g(X) d(X),
3. platí-li f (X) ≤ g(X)
∀X ∈ M , potom
R
M
f (X) dX ≤
R
M
g(X) dX,
4. je-li M = M1 ∪ M2, kde M1, M2 jsou měřitelné možiny mající společné nejvýš část
hranice, potom
R
M
f (X) dX =
R
M1
f (X) dX +
R
M2
f (X) dX.
Fubiniova věta pro výpočet integrálů se dá snadno rozšířit na elementární oblasti
pomocí charakteristické funkce:
Máme počítat
R
M
f (x, y) dx dy, kde M = {(x, y) |a ≤ x ≤ b, d(x) ≤ y ≤ h(x) }. Zvolíme
nějaký interval I tak, aby platilo M ⊆ I a vypočteme (podle definice)
Z
I
[f (x, y) χM (x, y)] dx dy.
Nechť I = ha, bi × hc, di. Potom
Z
I
[f (x, y) χM (x, y)] dx dy =
Z
b
a
dx
Z
d
c
[f (x, y) χM (x, y)] dy =
=
Z
b
a
dx
Z
d(x)
c
f (x, y) · 0 dy +
Z
b
a
dx
Z
h(x)
d(x)
f (x, y) · 1 dy +
Z
b
a
dx
Z
d
h(x)
f (x, y) · 0 dy =
6.1 Dvojný a trojný integrál
305
=
Z
b
a
dx
Z
h(x)
d(x)
f (x, y) dy.
Platí tedy věta (Fubiniova pro elementární oblast):
Věta 6.16. Nechť
M =
(x, y) ∈ R
2 | a ≤ x ≤ b, d(x) ≤ y ≤ h(x)
resp.
M =
(x, y, z) ∈ R
3 | a ≤ x ≤ b, d
1(x) ≤ y ≤ h1(x), d2(x, y) ≤ z ≤ h2(x, y)
,
kde d, h, resp. d1, h1, d2, h2 jsou spojité a skoro všude spojitě diferencovatelné funkce.
Pak existuje-li
J =
Z
M
f (x, y) dx dy
resp.
J =
Z
M
f (x, y, z) dx dy dz,
platí
J =
Z
b
a
dx
Z
h(x)
d(x)
f (x, y) dy
resp.
J =
Z
b
a
dx
Z
h1(x)
d1(x)
dy
Z
h2(x,y)
d2(x,y)
f (x, y, z) dz.
Věta platí analogicky pro elementární oblasti typu [y, x] nebo [y, x, z] atd.