Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Přesněji řečeno pro situaci v předchozím obrázku:

Máme vypočítat objem tělesa, jehož podstavu tvoří obdélník ha, bi × hc, di a je shora
omezené grafem funkce f : z = f (x, y).
Pro každé ξ ∈ ha, bi vypočítáme obsah řezu tělesa rovinou x = ξ - tento řez je ovšem
obrazec (křivočarý lichoběžník), jehož obsah umíme vypočítat pomocí určitého integrálu
a je zřejmě roven

F (ξ) =

Z

d

c

f (ξ, y) dy.

Podle vzorce pro výpočet objemu daného tělesa tedy dostáváme

V =

Z

b

a

F (x) dx =

Z

b

a

Z d

c

f (x, y) dy

dx.

To je tzv. dvojnásobný integrál, jehož hodnota je rovna příslušnému dvojnému integrálu.
Jistě bylo možné také postupovat opačně - nejdříve vypočíst obsahy řezů rovinou kolmou
na osu y a vzniklou funkci integrovat podle y v mezích hc, di.

Platí tedy věta:

6.1 Dvojný a trojný integrál

297

Věta 6.5. (Fubiniova pro interval) Nechť I = ha, bi × hc, di. Je-li f : I → R integro-
vatelná na I, pak existují integrály (dvojnásobné)

J1 =

Z

b

a

Z d

c

f (x, y) dy

dx,

J2 =

Z

d

c

Z b

a

f (x, y) dx

dy

a platí rovnost

J =

Z

I

f (x, y) dx dy = J1 = J2.

Dvojrozměrný integrál se tedy vypočítá pomocí dvou určitých integrálů - postupnou

integrací vždy podle jedné proměnné (analogie parciální derivace).

Tento postup se přirozeným způsobem rozšíří na trojný (i n-rozměrný) integrál:

Věta 6.6. Nechť I ⊂ R

n, I = ha

1, b1i × ha2, b2i × · · · × han, bni a nechť f : I →

R je

integrovatelná funkce na I. Potom platí

Z

I

f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn =

Z

b1

a1

Z b2

a2

. . .

Z bn

an

f (x1, . . . , xn) dxn

. . .

dx2

dx1 =

=

Z

bi

1

ai

1

Z

bi

2

ai

2

. . .

Z

bin

ain

f (x1, . . . , xn) dxi