Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

k)

f (x, y) = y3 + 4y2 − 2xy + x2, l)

f (x, y) = xy2 − 2x2 − y2,

m) f (x, y) = x2 −

4xy

y2 + 1

,

n) f (x, y) =

x + y

x2 + y2 + 1

,

o)

f (x, y) = e−x

2−y2 ,

p) f (x, y) = x e−x

2−y2 ,

q)

f (x, y) = xy e−x

2−y2 ,

r)

f (x, y) = xy e−x−y,

s)

f (x, y) = ex+y(6x2 − 3xy + y2 − 15x + 5y + 10),

t)

f (x, y) = xy ln(x2 + y2).

2. Najděte lokální extrémy funkcí f (x, y, z):

a) f (x, y, z) = x2 + y2 + y2 + zy − z + y − 2x,

b) f (x, y, z) = 6x2 + 5y2 + 14z2 + 4xy − 8xz − 2yz + 1,

c)

f (x, y, z) = x3 + 3x2 + y2 + z2 + 12xy + 15x + 14y + 4z + 17,

d) f (x, y, z) = xyz(4a − x − y − z),

e)

f (x, y, z) = (ax + by + cz) ex

2−y2−z2 .

3. Najděte vázané extrémy:

a) f (x, y) = xy − x + y − 1, x + y = 1,

b) f (x, y) = x2 + y2,

x
p +

y
q = 1,

c)

f (x, y) = sin

2 x + sin2 y,

x − y =

π

4 ,

d) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2,

x + y − 3z + 7 = 0, x − y + z − 3 = 0.

4. Najděte absolutní extrémy daných funkcí na daných množinách M :

a) f (x, y) = xy2(4 − x − y), M ohraničená přímkami x = 0, y − 0, x + y = 6,

b) f (x, y) = x3 + y3 − 3xy, M obdélník s vrcholy [0, −1], [2, −1], [2, 2, ], [0, 2],

5.6 Optimalizace

291

c) f (x, y) = x2 − xy + y2, M zadána nerovností |x| + |y| ≤ 1,

d) f (x, y) = e−x

2−y2 (3x2 + 2y2), M kruh x2 + y2 ≤ 4,

e) f (x, y, z) = x + y + z, M zadána nerovnostmi y2 + z2 ≤ x ≤ 1.