Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
284
Diferenciální počet II.
b) Při výpočtu vázaných extrémů na hraničních úsečkách nám vyšly jako „podezřelé z
extrémuÿ body (0, 0) a (3, 0) a my jsme je vyloučili. Jsou to totiž vrcholy trojúhelníka,
tedy body, ve kterých musíme v každém případě hodnotu vypočítat. Vyloučili jsme
je proto, abychom je zbytečně nevyšetřovali dvakrát.
Příklad 5.64. Drát délky l máme rozdělit na tři části, ze kterých vyrobíme kružnici,
rovnostranný trojúhelník a čtverec, přičemž připouštíme možnost, že některá část má
nulovou délku. Máme zjistit, kdy bude součet plošných obsahů vzniklých obrazců
a) minimální, b) maximální.
Řešení. Nejdříve musíme úlohu formalizovat, tedy nalézt účelovou funkci, jejíž extrémy
máme hledat, a množinu, na které máme hledat extrémy.
Označme jako x
délku kružnice,
y
obvod trojúhelníka a
z
obvod čtverce.
Potom platí x = 2πr,
tedy
r =
x
2π ,
kde
r
je poloměr kruhu,
y = 3a,
tedy
a =
y
3 ,
kde
a
je strana trojúhelníka,
z = 4b,
tedy
b =
z
4 ,
kde
b
je strana čtverce.
Pro jednotlivé plošné obsahy platí:
obsah kruhu:
Skr = πr
2 = x
2
4π
,
obsah trojúhelníka: Str =
√
3
4
a2 =
√
3
36
y2,
obsah čtverce:
Sct = b
2 = z
2
16
.
Odtud
Skr + Str + Sct =
x2
4π
+
y2
√
3
36
+
z2
16
=
1
4
x2
π
+
y2
√
3
9
+
z2
4
!
.
Dosadíme za z z podmínky x + y + z = l a jako účelovou funkci zvolíme
f (x, y) =
1
π
x
2 +
√
3
9
y
2 +
1
4
(l − x − y)
2.
Nyní určíme množinu, na které budeme extrémy hledat. Ze zadání úlohy dostaneme ome-
zení pro x, y a z:
0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, 0 ≤ z ≤ l,
přičemž polední podmínka znamená
0 ≤ l − x − y ≤ l ⇒ 0 ≤ x + y ≤ l.
Úlohu tedy můžeme formalizovat takto:
f (x, y) =
1
π
x
2 +
√
3
9
y
2 +
1
4
(l − x − y)