Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

6x −3

−3

6y

;

f

00(A) =

0 −3

−3

0

;

f

00(B) =

6 −3

−3

6

;

Podle Sylvestrova kriteria máme zjistit znaménka příslušných determinantů:
D2(A) = |f

00(A)| = −9 < 0 ⇒

v bodě A extrém nenastane;

D2(B) = |f

00(B)| = 27 > 0

⇒

v bodě B extrém může nastat;

D1(B) = f

00

xx(B) = 6 > 0

⇒

v bodě B nastane minimum (viz následující obrázek).

Obr. 5.29: f (x, y) = x3 + y3 − 3xy

5.6 Optimalizace

279

Příklad 5.56. Máme vyšetřit lokální extrémy funkce
f (x, y, z) = x3 + y2 +

1
2 z

2 − 3xz − 2y + 2z.

Řešení. gradf (x, y, z) = (3x2 − 3z, 2y − 2, z − 3x + 2) = 0

⇒

dva stacionární body

A = (1, 1, 1), B = (2, 1, 4).
Druhá derivace

f

00 =

6x 0 −3

0 2

0

−3 0

1

;

D3(A) = −6 D2(A) = 12 D1(A) = 6

⇒ nic

D3(B) = 6

D2(B) = 24 D1(B) = 12 ⇒ minimum

Povšimněme si, že v bodě A znaménko druhého determinantu naznačovalo, že by

extrém mohl nastat; ale protože první a třetí determinant má znaménka opačná, extrém
v bodě A nenastane.

Sylvestrovo kriterium nemusí rozhodnout, je-li některý z determinantů Dk roven nule. V
tom případě může nastat více situací – ostrý nebo neostrý extrém, nebo extrém vůbec
nemusí nastat. Ukážeme si to na následujícím příkladě:

Příklad 5.57. Máme vyšetřit lokální extrémy následujících funkcí:

a) f (x, y) = x2 + y3

b) f (x, y) = x2 + y4

c) f (x, y) = (x − y)2

Řešení.

a) f 0 = (2x, 3y2) = 0 ⇒ jediný stacionární bod (0, 0).

f 00 =

 2

0

0 6y

,

D2(0, 0) = 0

– extrém může a nemusí nastat.
V obrázku 5.30 vidíme, že extrém nenastane.

b) f 0 = (2x, 4y3) = 0 ⇒ jediný stacionární bod (0, 0).

f 00 =

 2

0

0 12y2

,

D2(0, 0) = 0