Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

– extrém může a nemusí nastat.
V obrázku 5.31 vidíme, že nastane ostré lokální minimum.

c) f 0 = (2(x − y), −2(x − y)) = 0 ⇒ přímka stacionárních bodů y = x.

f 00 =

2 −2

−2

2

,

D2(0, 0) = 0

– extrém může a nemusí nastat.
V obrázku 5.32 vidíme, že nastane neostré lokální minimum.

280

Diferenciální počet II.

Obr. 5.30: x2 + y3

Obr. 5.31: x2 + y4

Obr. 5.32: (x − y)2

Vázané a absolutní extrémy

Definice 5.58. Nechť M ⊂ R

n je libovolná množina, X

0 ∈ M . Řekneme, že funkce

f : M → R má v bodě X0 lokální maximum (resp. minimum) vzhledem k množině M ,
jestliže existuje okolí U (X0) tak, že platí:

∀X ∈ (U (X0) ∩ M )

je f (X) ≤ f (X0)

(resp. f (X) ≥ f (X0)).

Nejčastěji se vyšetřují extrémy, kdy množina je popsána podmínkami ve tvaru rovností;

pak hovoříme o vázaných extrémech a podmínky nazýváme vazbami. Funkci, jejíž
extrém hledáme, nazýváme někdy účelovou funkcí.

Budeme vyšetřovat úlohy, ve kterých mají podmínky takový tvar, že z nich lze některé
proměnné explicitně vyjádřit, eventuálně vazební podmínku umíme vyjádřit v parame-
trickém tvaru. Potom můžeme dosadit za vyjádřené proměnné a hledat lokální extrémy
vzniklé funkce méně proměnných.

Příklad 5.59. Rozložme kladné číslo a na čtyři kladné sčítance tak, aby jejich součin
byl maximální.

Řešení. Formalizace úlohy: Hledáme extrém funkce f (x, y, z, u) = xyzu za podmínky
x + y + z + u = a, x > 0, y > 0, z > 0, u > 0.
Z vazební podmínky vyjádříme proměnnou u, dosadíme do účelové funkce a dostáváme
formalizaci

F (x, y, z) = xyz(a − x − y − z) → min,

x > 0, y > 0, z > 0.