Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

n má v bodě X

0 ∈ A lokální

maximum (resp. minimum), jestliže existuje okolí U (X0) tak, že platí

∀X ∈ U

∗(X

0) :

f (X) ≤ f (X0)

(resp. f (X) ≥ f (X0)).

V případě, že platí ostré nerovnosti, říkáme, že lokální maximum resp. minimum je

ostré.

Lokální maximum a minimum se nazývá společným pojmem lokální extrém.

Pod pojmem lokální extrém budeme nadále rozumět ostré lokální extrémy, v případě

neostrých extrémů na to upozorníme.

Nutná podmínka pro extrém

Věta 5.52. (Fermatova) Nechť f : A → R je hladká na nějakém okolí U(X0) bodu X0
a nechť má funkce f v bodě X0 lokální extrém. Pak platí:

gradf (X0) = f

0(X

0) = 0.

Platí-li v bodě X0 vztah gradf (X0) = 0, říkáme, že X0 je stacionární bod funkce

f . Stacionární bod, ve kterém extrém nenastane, se nazývá sedlový bod.

5.6 Optimalizace

277

Postačující podmínka pro extrém

Věta 5.53. Nechť X0 je stacionárním bodem funkce f : A → R. Pak platí-li pro každý
nenulový přírůstkový vektor h

1. d2f (X0, h) > 0, je v bodě X0 lokální minimum,

2. d2f (X0, h) < 0, je v bodě X0 lokální maximum,

3. d2f (X0, h) ≥ 0, extrém v bodě X0 může a nemusí nastat,

4. d2f (X0, h) ≤ 0, extrém v bodě X0 může a nemusí nastat.

Jestliže pro některé h je d2f (X0, h) > 0 a pro jiné h je d

2f (X

0, h) < 0, extrém nenastane.

Poznámka: Druhý diferenciál můžeme napsat ve tvaru d2f (X0, h) = h

T · f 00(X

0) · h. Na-

příklad pro funkci f tří proměnných se spojitými parciálními derivacemi alespoň druhého
řádu můžeme druhý diferenciál napsat ve tvaru

d

2f = [dx, dy, dz] ·

f 00

xx

f 00

xy

f 00

xz

f 00