Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f

0

x = 2x e

y ,

f

0

y = x

2ey;

f

0

x(2, 0) = 4,

f

0

y (2, 0) = 4.

Tedy pro funkční hodnotu přibližně platí:

f (X)

.

= f (X0) + f

0

x dx + f

0

y dy;

1,94

2 · e0,12

.

= 4 + 4 · (−0,06) + 4 · 0,12 = 4,24.

Nyní odhadneme chybu. Druhý diferenciál funkce f (x, y) = x2ey má tvar

d

2f(x, y) = f00

xxdx

2 + 2f00

xy dx dy + f

00

yy dy

2 = 2eydx2 + 4xeydx dy + x2eydy2.

Pro zbytek R2 v Taylorově větě platí R2 =

1
2 d

2f (X

0 + ξh, h), takže pro X = X0 + ξh, tj.

x = 2 − 0,06 ξ, y = 0,12 ξ dostaneme

R2 =

1

2

[0,0072e

0,12ξ − 0,0288 (2 − 0,06ξ)e0,12ξ + 0,0144 (2 − 0,06ξ)2e0,12ξ] =

= 0,0036e

0,12 ξ (1 − 0,24 ξ + 0,0072 ξ2).

R2 můžeme chápat jako funkci jedné proměnné ξ, kde ξ ∈ (0, 1); máme tedy najít

ohraničení jejího oboru hodnot. Platí

|R2| = |0,0036e

0,12 ξ (1 − 0,24 ξ + 0,0072 ξ2)| < 0,0036 e0,12 · 1 < 0,0036 · 2 = 0,0072.

Odhad jsme provedli takto: výraz má tvar konstanta krát součin dvou funkcí. První –
exponenciála – je všude rostoucí, tedy na intervalu (0, 1) má hodnoty menší než je její
hodnota v ξ = 1. Druhá funkce (v závorce) je na intervalu (0, 1) klesající (má zde zápornou
první derivaci), tedy zde má všechny hodnoty menší než je její hodnota v ξ = 0. (Poněkud
komplikovanějším výpočtem se dá zjistit, že celý výraz je na intervalu (0, 1) klesající
funkcí, tedy odhad můžeme zpřesnit tak, že za horní odhad chyby vezmeme hodnotu
celého výrazu pro ξ = 0 – tedy |R2| < 0,0036.)
Vidíme, že chyba je až na třetím desetinném místě (na kalkulačce 1, 942 · e0,12 = 4, 2434).

Příklad 5.50. Aproximujme funkci f (x, y) = cos x