Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
uk−1 (x1, x2, . . . , xn)
0
u
;
274
Diferenciální počet II.
Pro funkci, která má spojité parciální derivace alespoň k-tého řádu, jsme dále defino-
vali
• k-tý diferenciál:
dkf (X0, h) je hodnota zobrazení, které každému vektoru h
přiřadí k-tou derivaci funkce f v bodě X0 podle vektoru h,
druhý diferenciál funkce f (x, y) dvou proměnných v bodě [x0, y0] vzhledem k
vektoru h = (dx, dy) má tvar
d
2f(X
0, h) = f
00
xx(x0, y0) dx
2 + 2f00
xy (x0, y0) dx dy + f
00
yy (x0, y0) dy
2 =
=
∂
∂x
dx +
∂
∂y
dy
2
(f (x0, y0)),
druhý diferenciál funkce f (x, y, z) tří proměnných v bodě [x0, y0, z0] vzhledem
k vektoru h = (dx, dy, dz) má tvar
d
2f(X
0, h) = f
00
xx(x0, y0, z0) dx
2 + f00
yy (x0, y0, z0) dy
2 + f00
zz (x0, y0, z0) dz
2+
+2f
00
xy (x0, y0, z0) dx dy + 2f
00
xz (x0, y0, z0) dx dz + 2f
00
yz (x0, y0, z0) dy dz =
=
∂
∂x
dx +
∂
∂y
dy +
∂
∂z
dz
2
(f (x0, y0, z0)),
k-tý diferenciál funkce n proměnných má symbolický tvar
d
k f(X, h) =
∂
∂x1
dx1 +
∂
∂x2
dx2 + · · · +
∂
∂xn
dxn
k
(f (X)).
Nejdůležitější tvrzení této kapitoly obsahuje Taylorova věta o nahrazení funkce v okolí
nějakého bodu Taylorovým polynomem:
f (X0 + h) = f (X0) +
1
1!
df (X0, h) +
1
2!
d
2f(X
0, h) + · · · +
1
k!
d
k f(X
0, h) + Rk+1(X ),
Rk+1(X) =
1
(k + 1)!
d
(k+1)f(X
0 + ξ h, h), ξ ∈ (0, 1).
Otázky a úkoly
1. Formulujte definici druhé parciální derivace funkce více proměnných.
2. Nechť funkce f (x, y) je součtem dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na x a druhá
5.5 Derivace a diferenciály vyšších řádů, Taylorova věta
275
pouze na y. Existuje-li f 00
xy , čemu se rovná?
3. Pro funkci f (x, y, z) = x3e4x sin y + y2 sin xy + 4xyz můžeme počítat f 000