Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0
u(X ). Jestliže
existuje v bodě X0 derivace (f
0
u)
0
v(X0) funkce f
0
u podle vektoru v, řekneme, že f má v
bodě X0 derivaci druhého řádu podle vektorů u,v a značíme ji f
00
uv(X0).
Obecně indukcí definujeme derivaci k-tého řádu podle vektorů u1, u2, . . . , uk:
f
(k)
u1,u2,...,uk =
f
(k−1)
u1,u2,...,uk−1
0
uk
.
Nechť f je třídy (alespoň) C2. Vyjádřeme funkci u 7→ f
00
uu pomocí parciálních derivací;
nejdříve pro funkci dvou proměnných a u = a i + b j:
f
00
uu = (f
0
u)
0
u = a (f
0
u)
0
x + b (f
0
u)
0
y =
= a (a f
0
x + b f
0
y )
0
x + b (a f
0
x + b f
0
y )
0
y = a
2f00
xx + 2ab f
00
xy + b
2f00
yy
Vzniklý výraz můžeme symbolicky zapsat ve tvaru:
a
2 ∂
2
∂ x2
+ 2ab
∂2
∂x ∂y
+ b
2 ∂
2
∂y2
(f ) =
a
∂
∂x
+ b
∂
∂y
2
(f ).
Obecně (indukcí) lze ukázat, že pro u = (a1, a2, . . . , an) je
f
(k)
uk =
a1
∂
∂x1
+ · · · + an
∂
∂xn
k
(f ).
Diferenciál k-tého řádu
Definice 5.46. Je-li f : A → R třídy Cm, pak pro libovolné X0 ∈ A a k ≤ m funkci,
která každému vektoru h = (h1, . . . , hn) přiřadí k-tou derivaci funkce f podle vektoru h,
tedy funkci
d
k f(X
0, h) = f
(k)
hk (X0) =
h1
∂
∂x1
+ · · · + hn
∂
∂xn
k
(f (X0))
nazýváme diferenciálem k-tého řádu funkce f v bodě X0.
Místo dkf (X0, h) někdy píšeme jen d
k f (X
0).
5.5 Derivace a diferenciály vyšších řádů, Taylorova věta
271
Například pro funkci tří proměnných má druhý diferenciál pro obecný přírůstkový vektor
h = (dx, dy, dz) následující tvar:
d
2f(X
0) = f
00
xx(X0) dx
2 + f00
yy (X0) dy
2 + f00
zz (X0) dz
2+
+2f
00
xy (X0) dx dy + 2f
00
xz (X0) dx dz + 2f
00
yz (X0) dy dz.
Druhý diferenciál bývá výhodné zapisovat v následujícím maticovém tvaru: