Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f 0

u(a, b) = 0?

8. Jestliže platí f 0

x(a, b) = 2 a f

0

y (a, b) = 3, ve kterém směru (tj. podle kterého jednot-

kového vektoru) bude derivace
a) rovna nule,

b) největší možná,

c) nejmenší možná?

9. Nechť X0 = [1, 1, 2], X = [1,01, 1,02, 1,99], u = X − X0, u0 =

u

kuk a pro funkci f

platí f (X0) = 4, f

0

u0 (X0) = 3. Vypočtěte přibližně f (X ).

10. Ve vedlejším obrázku jsou nakresleny čtyři

vrstevnice funkce f blízko bodu [0, 0].

a) Odhadněte f 0

x(0, 0).

b) Odhadněte f 0

y (0, 0).

c) Nakreslete grad f (0, 0).

d) Jaký úhel svírá gradient v bodě [0, 0] s

vrstevnicí procházející tímto bodem?

e) Odhadněte f 0

u(0, 0), je-li

u = (

√

3

2 ,

1
2 ).

Obr. 5.26: Vrstevnice 1

5.4 Derivace

265

11. Ve vedlejším obrázku jsou nakresleny čtyři

vrstevnice funkce f .

a) Nakreslete grad f (P ) a odhadněte jeho

velikost.

b) Ve kterém z bodů P, Q má grad f větší

velikost?

c) Odhadněte f 0

x(0,02, 0,05).

d) Odhadněte f 0

u(0,02, 0,05), je-li

u = (

√

3

2 ,

1
2 ).

Obr. 5.27: Vrstevnice 2

Cvičení

1. Najděte parciální derivace daných funkcí f v daném bodě A podle všech proměn-

ných, je-li f (x, y) resp. f (x, y, z, u) rovno:

a)

π

3 x

2y,

[4, 6], b)

x

y +

y

x ,

[1, 1],

c)

ex sin y,

[1, 2], d) 3x2y + exy,

[3, 2],

e)

arctg xy,

[0, 1], f)

p2x3 − 3y2,

[3, 2],

g)

x cos y − y cos x

1 + sin x + sin y

, [0, 0], h) ln(x2 + y2 + z2 + u2), [3, 2, 1, 0].

2. Vypočtěte parciální derivace daných funkcí f podle všech proměnných, je-li f (x, y)

resp. f (x, y, z) rovno:

a)

x
y +

y
z −

z
x ,

b)

1

x2 + y2 + z2

,

c)

arctg

x − y

1 + xy

,

d) 2 cos(xy − z) + (2x − z)2y3,

e)

e

x
y

+ xy,