Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

1

√

3

p6 − x2 − 2y2 ) a použít příslušný vzorec, výpočet by však byl dosti

komplikovaný, navíc existují případy, kdy takto postupovat nelze (např. pro plochu o
rovnici xey + yez + zex − 3e = 0 a bod [1,1,1]). Ukážeme si jiný postup:

Rovnici f (x, y, z) = 0 můžeme chápat jako nulovou hladinu funkce tří proměnných
f (x, y, z) (je to prostorová analogie vrstevnice funkce dvou proměnných). Víme, že
gradient funkce f v bodě na hladině má směr kolmý na tuto hladinu (je to, jak víme,
směr nejrychlejšího růstu funkce) – je to tedy normálový vektor této hladiny v příslušném
bodě, tedy i normálový vektor hledané tečné roviny. Jeho složky budou tedy koeficienty

262

Diferenciální počet II.

u jednotlivých proměnných v rovnici hledané tečné roviny, která bude mít tvar:

f

0

x(X0)x + f

0

y (X0)y + f

0

z (X0)z + d = 0.

Absolutní člen d pak určíme z podmínky, že zadaný bod na této rovině leží.

Příklad 5.42. Máme najít rovnice tečné roviny ploch daných rovnicemi f (x, y, z) = 0
v bodě X0 = [1, 1, 1], je-li

a) f (x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 − 6, b) f (x, y, z) = xey + yez + zex − 3e.

Řešení.

a)

grad f = (2x, 4y, 6z),

grad f (X0) = (2, 4, 6),

rovnice tečné roviny má tedy následující tvar

x + 2y + 3z + d = 0,

kde

d = −(x + 2y + 3z)|[1,1,1] = −6;

⇒ x + 2y + 3z − 6 = 0.

b)

grad f (x, y, z) = (e

y + zex, xey + ez, yez + ex),

grad f (X0) = (2e, 2e, 2e),

x + y + z + d = 0,

d = −(x + y + z)|[1,1,1] = −3; ⇒ x + y + z − 3 = 0.

Obr. 5.25: Plochy a tečné roviny z příkladu 5.42