Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

x : Proměnné y, z považujeme za konstanty a f derivujeme jako

funkci jedné proměnné x; dostaneme:
f 0

x = y

2 · 1 + 3z · 3x2 + 0 + 2yz · 1 = y2 + 9x2z + 2yz,

podobně f 0

y = 2xy + 2xz,

f 0

z = 3x

3 + 4z3 + 2xy.

Odtud po dosazení f 0

x(3, 0, −1) = −81.

Příklad 5.34. Máme vypočítat f 0

y (1, 1), je-li

f (x, y) = x

xx

xy

+ (ln x) · (arctg(arctg(arctg(sin(cos xy − ln(x + y)))))).

Řešení. Nemáme za úkol vypočítat parciální derivaci na množině, ale jen v bodě. Proto
bude výhodnější sestavit příslušnou funkci jedné proměnné, která vystupuje v definici
derivace v bodě – funkci g(y) = f (1, y), vypočítat g0 a potom dosadit y = 1:

g(y) = 1

11

1y

+ 0 · (arctg(arctg(arctg(sin(cos y − ln(1 + y)))))) = 1;

g

0(y) = 0, g0(1) = f0

y (1, 1) = 0.

Má-li funkce jedné proměnné derivaci, je spojitá. Na více než jednu proměnnou se však
tento výsledek nepřenáší. I když existují f 0

x a f

0

y , nemusí být funkce f spojitá. Je tomu

tak proto, že parciální derivování se týká jen limit podél přímek rovnoběžných s osami
souřadnic, zatímco u spojitosti jde o limity „ve všech směrech libovolným způsobemÿ. My
se budeme zabývat převážně jedním speciálním typem funkcí, u kterých tyto problémy
odpadnou; jsou to tzv. hladké funkce:

Definice 5.35. Jestliže funkce f má na nějaké oblasti A ⊆ Df spojité parciální derivace
podle všech proměnných, řekneme, že je na této oblasti hladká (nebo třídy C1). Graf
hladké funkce dvou proměnných se nazývá hladká plocha.

Pro hladké funkce platí následující věta:

Věta 5.36. Hladká funkce je spojitá.

258

Diferenciální počet II.

Směrová derivace

Pojem parciální derivace zobecníme tak, že místo jednotkových vektorů rovnoběžných se
souřadnými osami báze budeme uvažovat libovolný vektor u ∈ En: