Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

x2+y2

x−y

= k

⇒

x −

k
2

2 + y − k

2

2 = k

2

2 .

Provedeme-li tedy zúžení funkce např. na křivku y = −1 +

p2 − (x − 1)2, dostaneme

h(x) = f (x, −1 +

p

2 − (x − 1)2) =

x2 + 1 − 2

p2 − (x − 1)2 + 2 − x2 + 2x − 1

x + 1 −

p2 − (x − 1)2

= 2

x6=0

a lim

x→0

h(x) = 2, tedy hledaná limita neexistuje.

Obr. 5.19:

x2+y2

x−y

– vrstevnice

Obr. 5.20:

x2+y2

x−y

5.3 Limita, spojitost

253

Na závěr této kapitoly uvedeme věty o funkcích spojitých na uzavřených ohraničených
množinách:

Věta 5.31. Jestliže je funkce f spojitá na ohraničené uzavřené množině M , potom

• je na množině M ohraničená,

• má na množině M maximum a minimum.

Je-li navíc M souvislá, potom

• pro libovolné body A, B ∈ M, A 6= B, nabude f každou hodnotu mezi f (A) a f (B)

alespoň v jednom bodě množiny M .

Shrnutí

V této kapitole jsme formulovali pojem limity pro funkce více proměnných. Definovali
jsme

• limitu funkce f v bodě A:

lim

X→A

f (X) = b, jestliže k libovolnému okolí U (b)

limity b existuje okolí U (A) bodu A tak, že funkce f zobrazí množinu U ∗(A)∩Df
do zvoleného U (b).

Analogicky jako u funkce jedné proměnné platí věty o limitě zúžené funkce, o aritme-
tických operacích s limitami, o limitě složené funkce a o nerovnostech mezi limitami.

Pojem spojitosti funkce více proměnných je definován stejně jako u funkce jedné pro-
měnné. Funkce f je

• spojitá v bodě A:

platí-li lim

X→A

f (X) = f (A),

• spojitá na množině M :

je-li spojitá v každém bodě této množiny.

Otázky a úkoly

1. Jak je definována limita funkce více proměnných?

2. Ukažte z definice limity, že platí

lim

(x,y)→(0,0)

1 = 1. Situaci znázorněte graficky.