Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Definice 5.21.

1. Množina M ⊂ R

n je otevřená v Rn, jestliže každý její bod leží v

této množině i s nějakým svým okolím, tedy platí-li

∀x ∈ M ∃U (X) : U (X) ⊂ M,

2. M ⊂ R

n je uzavřená v Rn, je-li Rn \ M otevřená,

3. bod A ∈ R

n je hromadný bod množiny M , jestliže v každém jeho redukovaném

okolí leží nějaký bod patřící do množiny M , tedy když platí

∀U (A) : U

∗(A) ∩ M 6= ∅,

4. hranicí množiny M ⊂ R

n nazveme množinu h(M ) bodů, v jejichž libovolném okolí

leží alespoň jeden bod patřící do množiny M a alespoň jeden bod, který do M
nepatří, tedy

h(M ) = { X | ∀U (X) : U (X) ∩ M 6= ∅ ∧ U (X) ∩ (R

n \ M) 6= ∅ },

5. množina M ⊂ R

n se nazývá ohraničená nebo také omezená, jestliže libovolné dva

její body mají vzdálenost menší než nějaká pevně zvolená konstanta, tedy platí-li

∃k > 0 ∀X, Y ∈ M : d(X, Y ) < k,

6. množina M ⊂ R

n se nazývá souvislá, jestliže se každé její dva body dají spojit

čarou, jejíž všechny body patří do M (pojem čáry zde chápeme intuitivně),

7. množina M ⊂ R

n se nazývá oblast, je-li otevřená, ohraničená a souvislá,

8. je-li M ⊂ R

n oblast, potom množina M spolu se svou hranicí, tj. množina M ∪h(M ),

se nazývá uzavřená oblast.

Poznamenejme, že v eukleidovském prostoru platí:

• množina M je otevřená, jestliže neobsahuje žádný bod své hranice,

• množina M je uzavřená, jestliže obsahuje celou svou hranici.

Nyní přikročíme k definici limity a spojitosti funkce z R

n; definice bude formálně stejná,

jako analogické definice v R:

248

Diferenciální počet II.