Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Obr. 5.16: (x2 + y2) sin

1

xy

Rozmanitější a zajímavější bývají případy, kdy limita neexistuje; pro ověření tohoto

faktu používáme důsledku věty 5.25 – jestliže pro dvě různá zúžení funkce je limita v
některém bodě různá, potom limita původní funkce v tomto bodě neexistuje.

Příklad 5.30. Vyšetřete limity

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y), je-li f (x, y) rovno

a)

2xy

x2 + y2

, b)

x4y2

x8 + y4

, c)

x2 + y2

x − y .

a) Proveďme zúžení funkce na libovolnou přímku procházející počátkem z = k x. Dosta-
neme systém funkcí

hk(x, y) = f (x, kx) =

2kx2

x2(1 + k2)

=

2k

1 + k2

,

je to systém konstantních funkcí – například pro
k = 1, tj. pro přímku y = x dostaneme

h1(x, y) =

2x2

x2 + x2

= 1

x6=0

,

pro k =

1
2 , tj. pro přímku y =

1
2 x dostaneme

h 1

2

(x, y) =

x2

x2 +

1
4 x

2

=

4

5

x6=0

,

tak jak je vidět v sousedním obrázku.
Po každé přímce tedy vychází jiná limita – zadaná
limita neexistuje.

Obr. 5.17:

2xy

x2+y2

252

Diferenciální počet II.

b) Provedeme-li opět zúžení na libovolnou přímku procházející počátkem, dostaneme sys-
tém funkcí

hk(x, y) = f (x, kx) =

k2x6

x8 + k4x4

= x

2

k2

x4 + k4

,

přičemž

lim

x→0

x

2

k2

x4 + k4

= 0

pro každé k.

Zdálo by se tedy, že hledaná limita je rovna nule
(vždyť se blížíme k počátku „všemi směryÿ).

Proveďme zúžení dané funkce na parabolu y = x2.
Dostaneme

h(x) = f (x, x

2) =

x4 · x4

x8 + x8

=

1

2

x6=0

,

a lim

x→0

h(x) =

1
2 , hledaná limita opět neexistuje.

Obr. 5.18:

x4y2

x8+y4

c) Provedeme-li zúžení funkce na libovolnou přímku procházející počátkem, nebo jako
v předchozím příkladě na parabolu, bude limita zúžené funkce rovna nule. Grafem funkce
je ale kuželová plocha bez osy z – vrstevnice jsou kružnice; pro z = k dostaneme