Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Geometrický význam parciálních derivací
Jestliže roviny x = x0 a y = y0 protínají graf funkce f (x, y) v křivkách y = y0, z = f (x, y)
resp. x = x0, z = f (x, y) a v bodě X0 existují parciální derivace f
0
x, f
0
y , potom tečny
256
Diferenciální počet II.
k těmto křivkám v bodě X0 svírají s osou x resp. osou y úhly α, β, pro které platí
tg α = f 0
x(X0),
tg β = f 0
y (X0).
Parciální derivace podle x:
Parciální derivace podle x a podle y (3D):
Obr. 5.21: Parciální derivace
Analogicky se definují parciální derivace funkcí více proměnných:
Nechť f : A → R, A ⊆ R
n, X
0 = (x
0
1, . . . , x
0
n) je vnitřní bod množiny A. Existuje-li
(vlastní) derivace funkce g : g(t) = f (x0
1, . . . , x
0
i−1, t, x
0
i+1, . . . , x
0
n) v bodě t = x
0
i , nazýváme
tuto derivaci g0(x0
i ) parciální derivací funkce f v bodě X0 a značíme ji f
0
xi (X0) nebo
∂f
∂xi
(X0), tedy
f
0
xi (X0) = lim
h→0
f (x0
1, . . . , x
0
i−1, x
0
i + h, x
0
i+1, . . . , x
0
n) − f (x
0
1, . . . , x
0
n)
h
=
= lim
h→0
f (X0 + h ei) − f (X0)
h
.
5.4 Derivace
257
Nechť f : A → R, A ⊆ R
n a nechť B 6= ∅ je množina všech bodů X, v nichž existuje par-
ciální derivace f 0
xi (X ). Funkci g : B → R, g(X ) = f
0
xi (X ) nazýváme parciální derivací
funkce f podle i-té proměnné na množině B a značíme ji f 0
xi nebo
∂f
∂xi
.
Příklad 5.33. Máme vypočítat parciální derivace funkce
f (x, y, z) = xy
2 + 3x3z + z4 + 2xyz
podle všech proměnných; potom máme určit f 0
x(X0), X0 = (3, 0, −1).
Řešení. Počítejme f 0