Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Definice 5.37. Existuje-li konečná limita

lim

h→0

f (X0 + h u) − f (X0)

h

= f

0

u(X0),

nazýváme ji derivací funkce f v bodě X0 podle vektoru u. Je-li vektor u jednotkový,
hovoříme o směrové derivaci.

Obr. 5.22: Směrová derivace

Poznamenejme, že přímo z definice bezprostředně plyne

f

0

cu = c f

0

u.

Jestliže si uvědomíme, že pro pevně daný bod X0 a vektor u je výraz f (X0 + h u) = g(h),
tedy funkce jedné proměnné h, přičemž f (X0) = g(0), můžeme předchozí definici napsat
ve tvaru:

f

0

u(X0) = lim

h→0

f (X0 + h u) − f (X0)

h

= lim

h→0

g(h) − g(0)

h

= g

0(0);

takže derivaci podle vektoru můžeme počítat následovně:

Příklad 5.38. Vypočítáme derivaci funkce f (x, y, z) = 2x2 + 3y − z2 podle vektoru
u = (3, 2, 1) v obecném bodě X = (x, y, z) a potom v bodě X0 = (1, 2, −1).

5.4 Derivace

259

Řešení. Sestavme pro tento případ funkci g:
X0 + h u = (x + 3h, y + 2h, z + h), g(h) = 2(x + 3h)

2 + 3(y + 2h) − (z + h)2

g0(h) = 4(x + 3h) · 3 + 6 − 2(z + h), g0(0) = 12x − 2z + 6 = f 0

u(x, y, z);

f 0

u(1, 2, −1) = 20.

Vypočítáme ještě derivaci zadané funkce v daném bodě ve směru vektoru u, tedy podle
jednotkového vektoru u0 =

u

kuk :

f 0

u0 (1, 2, −1) =

1

kuk · f

0

u(1, 2, −1) =

1

√

9+4+1

· 20 = 20

√

14

.

Gradient

K výpočtu směrových derivací je výhodné použít tzv. gradient funkce:

Definice 5.39. Vektor

gradf (X0) = (f

0

x1 (X0), . . . , f

0

xn (X0))

se nazývá gradient funkce f v bodě X0.

Poznámka: V případě, že funkce f je hladká, používá se někdy namísto názvu gra-

dient a označení gradf (X0) též názvu derivace funkce a označení f