Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

tedy směr kolmý na vrstevnici funkce dvou proměnných a na hladiny funkce tří
proměnných,

• je-li f hladká funkce, platí pro výpočet její derivace podle vektoru u vztah

f

0

u = grad f · u,

pro hladkou funkci f jsme dále zavedli pojem

• diferenciál funkce f :

zobrazení, které každému vektoru přiřadí derivaci funkce

f podle tohoto vektoru;

je-li f funkce dvou proměnných, potom její diferenciál v bodě [x0, y0] pro vektor
h = (dx, dy) má tvar

df (X0, h) = f

0

x(x0, y0) dx + f

0

y (x0, y0) dy.

264

Diferenciální počet II.

Otázky a úkoly

1. Napište vztahy pro definici derivace funkce tří proměnných v nějakém bodě podle

všech proměnných.

2. Je dána křivka, která vznikla jako řez plochy z = x2 + y2 rovinou x = 2. Najděte

směrnici tečny k této křivce jdoucí bodem [2, 1, 5].

3. Je dána křivka, která vznikla jako řez plochy z = x2y rovinou y =

1
2 . Najděte

směrnici tečny k této křivce jdoucí bodem [1,

1
2 ,

1
2 ].

4. Jestliže platí f (1, 1) = 3, f (1,02, 1) = 3,05 a f (1, 0,97) = 2,4, odhadněte f 0

x(1, 1) a

f 0

y (1, 1).

5. Najděte funkci f (x, y) dvou proměnných tak, aby platilo f 0

x(x, y) = 1, f

0

y (x, y) = 2

v libovolném bodě [x, y] ∈ R

2, přičemž f (0, 0) = 3. Kolik je takových funkcí?

6. Nechť pro hladkou funkci f platí: f 0

x(2, 3) = 4 a f

0

y (2, 3) = 5.

a) Nakreslete grad f (2, 3).

b) Pro který vektor bude směrová derivace (tj. derivace podle jednotkového vek-

toru) v bodě [2, 3] největší?

c) Jakou hodnotu má tato největší směrová derivace?

7. Existuje pro danou hladkou funkci f (x, y) a bod [a, b] vždy vektor u tak, aby platilo