Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f)

xyex+2y,

g) ln(x − ln(x2 + y2)), h)

√

1 − x2 +

py2 − 1 + p1 − x2 − y2,

i)

(ln x)cos y,

j)

r

x2 + y2 − x

2x − x2 − y2

,

266

Diferenciální počet II.

k)

xx

y

,

l)

sin(x2 + y2) + arcsin

x

y2 ,

m) (3x + 2z)yz,

n) (y tg z)ln x,

o)

(cos x)(cos y)

cos z

, p) (sin x)tg z (cotg z)sin y.

3. Ukažte, že zadané funkce vyhovují daným diferenciálním rovnicím:

a) z − y2 sin(x2 − y2), y2z0

x + xy z

0

y = 2xz,

b) u =

y

x ,

x u0

x + y u

0
y = 0,

u = arctg

y

x ,

x u0

x + y u

0
y = 0,

u = ln y − ln x,

x u0

x + y u

0
y = 0,

u =

2xy

x2 + y2

,

x u0

x + y u

0
y = 0,

c)

z = f (x2 + y2),

y z0

x − x z

0

y = 0,

je-li f hladká funkce.

4. Vypočtěte derivace daných funkcí v daných bodech podle daných vektorů:

a) f (x, y, z) =

px2 + y2 + z2, X = [1, 1, 1], u = (0, 2, −1),

b) f (x, y, z) = (y tg z)ln x,

X = [1, 1,

π

4 ],

u = (1, 1, 0),

c)

f (x, y) = xy,

X = [1, 0],

u = (1, 1).

5. Vypočítejte směrové derivace funkcí f v daných bodech, je-li jednotkový vektor

zadán pomocí úhlů α, β, γ, které svírá postupně se souřadnými osami x, y, z:

a) f (x, y) = 3x4 − x2y3 + y2,

X = [−1, 1],

α =

π

6 , β =

π

3 ,

b) f (x, y, z) = xy2 + y3 − xyz, X = [1, 1, 2], α =

π

3 , β =

π

4 , γ =

π

3 .

6. Najděte derivaci funkce f (x, y) = ln(x2 + y2) v bodě [x0, y0] ve směru vektoru, který

je kolmý na vrstevnici funkce f procházející tímto bodem.

7. Najděte velikost a směr gradientu funkce f (x, y, z) = 1

r , kde r =

px2 + y2 + z2,

v bodě [x0, y0, z0].

8. Najděte přírůstek funkce (diferenci) ∆f a diferenciál df funkce f (x, y) = 4x2 +2xy −