Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

− y2 + 2, jestliže z bodu X0 = [3, −1] přejdeme do bodu X = [−1, 2].

5.4 Derivace

267

9. Vyjádřete diferenciál funkce f v bodě X = [x, y] 6= [0, 0] resp. X = [x, y, z] 6=

= [0, 0, 0], je-li f (x, y) resp. f (x, y, z) rovno:

a) x2 − 2xy + y2,

b) ln

px2 + y2, c) arctg x − y

x + y ,

d)

px2 + y2 + y2, e) eax cos by

z ,

f)

3xyz.

10. Vypočtěte hodnotu diferenciálů pro dané funkce f , dané body X0 a přírůstky, je-li:

a)

arctg

x
y ,

X0 = [2, 1],

dx = 0,01, dy = 0,05,

b) xx sin y arctg z, X) = [−4,

π

2 , 0],

dx = 0,05, dy = 0,06, dz = 0,08.

11. Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně:

a)

p3,032 + 9,012,

b) 4,004 · 2,0022 · 3,0033,

c)

ln(

√

0,96 +

3

√

1002 + 2),

d) sin 151o · cotg 41o,

e)

sin 1,51 · arctg 0,8 · 2−3,95, f)

1,052,01.

12. O kolik se přibližně změní úhlopříčka a plošný obsah obdélníka se stranami x = 12m,

y = 9m, jestliže se první strana zvětší o 2cm a druhá zmenší o 4cm?

13. Výška kužele je h = 15cm a poloměr základny r = 8cm. O kolik se přibližně změní

objem kužele, jestli- že se výška zvětší o 0,3cm a poloměr základny se zvětší o 0,2cm?

14. Doba kmitu T matematického kyvadla se rovná T = 2π

q

l

g , kde l je délka kyvadla

a g gravitační zrychlení. S jakou chybou je určena doba kmitu T , jestliže při měření
byla délka určena s chybou dl = a a zrychlení s chybou dg = b?

15. Najděte rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce v daném bodě na grafu

funkce:

a) f (x, y) = x4 + 2x2y − xy + x, T = [1, ?, 2],

b) f (xy) = xy,

T = [?, 2, 2].