Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
d
2f = (dx
1, dx2, . . . , dxn)
f 00
x1x1
f 00
x1x2
· · · f 00
x1xn
f 00
x2x1
f 00
x2x2
· · · f 00
x2xn
..
.
..
.
. ..
..
.
f 00
xnx1
f 00
xnx2
· · · f 00
xnxn
dx1
dx2
..
.
dxn
.
Aproximace funkce Taylorovým polynomem
I v případě funkcí více proměnných bývá výhodné nahradit funkci v okolí nějakého bodu
polynomem – stejně jako v případě jedné proměnné k tomu slouží Taylorův polynom:
Definice 5.47. Má-li funkce f spojité parciální derivace až do řádu k na okolí U (X0)
bodu X0, potom Taylorovým polynomem funkce f v bodě X0 nazýváme polynom
Tk(X) = f (X0) +
1
1!
df (X0, X − X0) +
1
2!
d
2f(X
0, X − X0) + · · · +
1
k!
d
k f(X
0, X − X0).
Například pro funkci dvou proměnných f (x, y), obecný přírůstkový vektor h = X − X0 =
= (x − x0, y − y0) má Taylorův polynom druhého stupně následující tvar:
Tk(x, y) = f (x0, y0) +
1
1!
f
0
x(x0, y0) (x − x0) + f
0
y (x0, y0) (y − y0)
+
+
1
2!
f
00
xx(x0, y0) (x − x0)
2 + 2f00
xy (x0, y0) (x − x0)(y − y0) + f
00
yy (x0, y0) (y − y0)
2 .
Věta 5.48. (Taylorova) Má-li funkce f spojité parciální derivace až do řádu k + 1 na
okolí U (X0) bodu X0, potom pro X = X0 + h ∈ U (X0) platí f (X) = Tk(X) + Rk+1(X),
tj.
f (X0 + h) = f (X0) +
1
1!
df (X0, h) +
1
2!
d
2f(X
0, h) + · · · +
1
k!
d
k f(X
0, h) + Rk+1(X ),
kde
Rk+1 =
1
(k + 1)!
d
(k+1)f(X
0 + ξ h, h),
a ξ je jisté číslo z intervalu (0, 1).
272
Diferenciální počet II.
Příklad 5.49. Máme odhadnout chybu, které se dopustíme při výpočtu hodnoty
1, 942 · e0,12 pomocí Taylorova polynomu 1. stupně (tedy pomocí diferenciálu).
Řešení. Hledané číslo je hodnota funkce f (x, y) = x2ey pro X = (1,94; 0,12) a tento bod
je blízký bodu (2, 0); položíme tedy X0 = (2, 0), h = (dx, dy) = (−0,06; 0,12). Počítejme
potřebné parciální derivace: