Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

xyz v různém

pořadí. Které pořadí bude nejvýhodnější?

4. Nechť funkce f (x, y) má spojité parciální derivace druhého řádu. Uvažujme křivku,

která vznikne jako průsečnice plochy z = f (x, y) a roviny y = y0. Vysvětlete, jaký
význam pro průběh této křivky v okolí bodu x = x0 má hodnota f

0

x(x0, y0) a hodnota

f 00

xx(x0, y0).

5. Nechť f (x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + ky2, kde a, b, c, d, e, k jsou konstanty.

Ukažte, že platí

a = f (0, 0),

b = f 0

x(0, 0),

c = f 0

y (0, 0),

d =

1
2 f

00

xx(0, 0),

e = f 00

xy (0, 0),

k =

1
2 f

00

yy (0, 0)

a výsledek zdůvodněte.

Cvičení

1. Vypočítejte následující parciální derivace vyšších řádů:

a)

∂4f
∂x4

,

∂4f

∂x3∂y

,

∂4f

∂x2∂y2

, je-li

f (x, y) = x − y + x

2 + 2xy + y2 + x3 − 3x2y − y3 + x4 − 4x2y2 + y4,

b)

∂p+qf
∂xpyq

,

je-li f (x, y) = (x − a)p(y − b)q,

c)

∂p+q+rf
∂xpyqyr

,

je-li f (x, y, z) = xyzex+y+z,

d)

∂m+nf
∂xmyn

(0, 0), je-li f (x, y) = ex sin y.

2. Najděte d3f (X) pro h = (dx, dy, dz), je-li f (x, y, z) rovno

a) xyz, b) sin(x2 + y2), c) ln(xx yy zz).

3. Najděte Taylorův polynom funkce f v bodě X0 pro dané n:

a) f (x, y) = 3x2 − 2xy + y2 − 2x − 3y + 1, X0 = (1, 2), n = 3,

b) f (x, y) = x3 + y3 − 2xy,

X0 = (1, 1), n = 2, n − 3.

4. Najděte Taylorův polynom funkce f v bodě X0 = (0, 0) pro dané n:

a) f (x, y) =

1

1 − x − y + xy

,

n = 2,

b) f (x, y) = cos(x2 + y2),

n = 5,

c)

f (x, y) = ex sin y,

n = 3,

d) f (x, y) = ln(1 − x) ln(1 − y), n = 3.

276

Diferenciální počet II.