Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

xy

f 00

yy

f 00

yz

f 00

xz

f 00

yz

f 00

zz

·

dx
dy

dz

.

Označme determinant matice f 00 jako Dn a jeho subdeterminanty obsahující prvních k
řádků a sloupců tohoto determinantu jako Dk, je tedy

D1 = |f

00

x1x1 |, D2 =

f 00

x1x1

f 00

x1x2

f 00

x2x1

f 00

x2x2

, ... , Dn = |f

00|.

Pomocí těchto determinantů můžeme obvykle rozhodnout, zda ve stacionárním bodě na-
stane extrém a jaký:

Věta 5.54. (Sylvestrovo kriterium) Nechť A je stacionární bod funkce f n proměn-
ných.

• Jsou-li v bodě A subdeterminanty D1, D2, . . . , Dn matice f 00 všechny kladné, má

funkce f v bodě A lokální minimum.

• Jsou-li v bodě A subdeterminanty D1, D3, . . . záporné a subdeterminanty D2, D4, . . .

kladné (tedy jsou střídavě záporné a kladné s D1 záporným), má funkce f v bodě A
lokální maximum.

• Je-li některý subdeterminant se sudým indexem v bodě A záporný, potom v bodě A

extrém nenastane.

• Je-li některý subdeterminant s lichým indexem kladný a jiný záporný, extrém nena-

stane.

278

Diferenciální počet II.

• Je-li některý subdeterminant v bodě A roven nule a předchozí dvě podmínky extrém

nevyloučily, nelze pomocí tohoto kriteria o existenci extrému rozhodnout.

Příklad 5.55. Máme najít lokální extrémy funkce f (x, y) = x3 + y3 − 3xy.

Řešení. Hledejme stacionární body – body, ve kterých má funkce nulový gradient:

gradf = (3x

2 − 3y, 3y2 − 3x) = 0 ⇒

y = x2
x = y2

⇒ x = x

4 ⇔ x(x3 − 1) = 0

Dostáváme dva stacionární body A = (0, 0), B = (1, 1). Vyšetříme druhý diferenciál
v těchto bodech:

f

00

xx = 6x,

f

00

xy = −3,

f

00

yy = 6y;

d

2f = 6x dx2 − 6 dx dy + 6y dy2;

Druhá derivace má tvar

f

00 =