Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
g
0(t) = 2 cos 2t,
g
0(t) = 0 ⇒ 2t =
π
2
+ kπ ⇒ t =
π
4
+ k
π
2
.
Z nalezených stacionárních bodů leží v daném intervalu čtyři, a to
t1 =
π
4
, t2 =
3π
4
, t3 =
5π
4
, t4 =
7π
4
.
Vzhledem k tomu, že funkce g je na intervalu th0, 2πi spojitá, má zde největší a nejmenší
hodnotu, a to buď ve stacionárních bodech, nebo v krajních bodech intervalu. Stačí tedy
porovnat funkční hodnoty v těchto bodech:
g(t1) = sin(2
π
4
) = 1, g(t2) = sin(2
3π
4
) = −1,
g(t3) = sin(2
5π
4
) = 1, g(t4) = sin(2
7π
4
) = −1, g(0) = g(2π) = 0.
282
Diferenciální počet II.
Funkce g má maximum 1 v bodech t1 a t3, minimum −1 v bodech t2 a t4. Funkce f má
vázané lokální maximum 1 v bodech A a B, kde
A = [
√
2 cos t1,
√
2 sin t1] = [1, 1], B = [
√
2 cos t3,
√
2 sin t3] = [−1, −1],
a vázané lokální minimum −1 v bodech C a D, kde
C = [
√
2 cos t2,
√
2 sin t2] = [−1, 1], D = [
√
2 cos t4,
√
2 sin t4] = [1, −1].
Obr. 5.33: z = xy, x2 + y2 = 2 (včetně 3D)
Absolutní extrémy jsou největší a nejmenší hodnoty funkce na množinách zpravidla
stejné dimenze jako definiční obor funkce (obvykle popsané nerovnostmi). Jejich existenci
zaručuje následující věta:
Věta 5.61. (Weierstrassova) Spojitá funkce nabývá na uzavřené oblasti svého absolut-
ního maxima a minima.
Při hledání absolutních extrémů se budeme opírat o větu:
Věta 5.62. Jestliže funkce f je hladká v oblasti A a spojitá v A i na hranici h(A), potom
nabývá své největší a nejmenší hodnoty (tj. absolutních extrémů) buď ve stacionárních
bodech uvnitř oblasti, nebo v hraničních bodech.
V prvním případě jde tedy o hledání volných lokálních extrémů a ve druhém o hledání
vázaných extrémů, kde rovnice hranice je vazební podmínkou.