Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2
−→ extr,
0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l − x.
5.6 Optimalizace
285
Podmínka zřejmě popisuje trojúhelník s vrcholy [0, 0], [0, l], [l, 0]; máme tedy najít největší
a nejmenší hodnotu účelové funkce na tomto trojúhelníku.
Nejdříve vyšetříme lokální extrémy uvnitř trojúhelníka:
grad f (x, y) =
2
π
x +
1
2
(x + y − l);
2
√
3
9
y +
1
2
(x + y − l)
!
,
grad f (x, y) = 0 ⇒
x0 =
π
√
3
9 + (4 + π)
√
3
l
.
= 0,255 l
y0 =
9
9 + (4 + π)
√
3
l
.
= 0,421 l.
f
00(x, y) =
"
2
π +
1
2
1
2
1
2
2
√
3
9
+
1
2
#
,
D2 =
9 + (4 + π)
√
3
9π
> 0,
D1 =
2
π
+
1
2
> 0
– ve stacionárním bodě [x0, y0] nastane minimum s hodnotou
f (x0, y0) =
3(4 + π + 3
√
3)
(9 + (4 + π)
√
3)2
l
2 .
= 0,081 l
2.
Vázané extrémy na hranici, tedy na jednotlivých stranách trojúhelníka:
a) x = 0, y ∈ (0, l) :
f (0, y) = f1(y) =
√
3
9
y
2 +
1
4
(l − y)
2,
f
0
1(y) =
2
√
3
9
y +
1
2
(y − l);
f
0
1(y) = 0 pro y1 =
9
4
√
3 + 9
l
(∈ (0, l)),
f
00
1 (y) =
2
√
3
9
+
1
2
> 0
v bodě y1 =
9
4
√
3 + 9
l nastane vázané lokální minimum s hodnotou
f1(y1) = f (0, y1) =
√
3
4
√
3 + 9
l
2 .
= 0,109 l
2.
b) y = 0, x ∈ (0, l) :
f (x, 0) = f2(x) =
1
π
x
2 +
1
4
(l − x)
2,
f
0
2(x) =
2
π
x +
1
2
(x − l);
f
0
2(x) = 0 pro x2 =
π
4 + π
l
(∈ (0, l)),
f
00
2 (x) =
2
π
+
1
2
> 0
v bodě x2 =
π
4 + π
l nastane vázané lokální minimum s hodnotou
f2(x2) = f (x2, 0) =
1
4 + π
l
2 .
= 0,140 l
2.
286
Diferenciální počet II.
c) y = l − x, x ∈ (0, l) :
f (x, l − x) = f3(x) =
1
π
x
2 +
√
3
9
(l − x)
2,
f
0
3(x) =
2
π
x +
2
√
3
9
(x − l);
f
0
3(x) = 0 pro x3 =
√
3
9 +
√
3
l
(∈ (0, l)),
f
00
3 (x) =
2
π
+
2
√