Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
6. Které z následujících tvrzení o funkcích se spojitými parciálními derivacemi do řádu
alespoň druhého je pravdivé:
a) Jestliže platí f 0
x(a, b) = f
0
y (a, b) = 0 a f
00
xx > 0, potom má funkce f v bodě (a, b)
lokální minimum.
b) Jestliže má funkce f v bodě (a, b) lokální minimum, potom platí f 0
x(a, b) =
= f 0
y (a, b) = 0 a f
00
xx > 0.
c) Má-li funkce f právě dva stacionární body, nemůže v obou být lokální mini-
mum.
d) Má-li funkce f dvě lokální maxima, musí mít alespoň jedno lokální minimum.
7. Nechť [a, b] je stacionární bod funkce f (x, y). Pro druhé parciální derivace funkce f
platí:
a) f 00
xx(a, b) = 2,
f 00
yy (a, b) = 8,
f 00
xy (a, b) = 4,
b) f 00
xx(a, b) = 2,
f 00
yy (a, b) = 4,
f 00
xy (a, b) = −3,
c)
f 00
xx(a, b) = 2,
f 00
yy (a, b) = 4,
f 00
xy (a, b) = 3,
d) f 00
xx(a, b) = 3,
f 00
yy (a, b) = 4,
f 00
xy (a, b) = 2,
e)
f 00
xx(a, b) = −3,
f 00
yy (a, b) = −4,
f 00
xy (a, b) = −2,
f)
f 00
xx(a, b) = 3,
f 00
yy (a, b) = −4,
f 00
xy (a, b) = −2.
V každém případě rozhodněte, které tvrzení je pravdivé:
(a) f má v (a, b) lokální minimum,
(b) f má v (a, b) lokální maximum,
(c) f v (a, b) nemá extrém,
5.6 Optimalizace
289
(d) na základě daných informací o existenci extrému nelze rozhodnout.
8. Nechť [a, b, c] je stacionární bod funkce f (x, y, z). Pro druhé parciální derivace funkce
f platí:
a) f 00
xx(a, b, c) = 1,
f 00
yy (a, b, c) = 3,
f 00
zz (a, b, c) = 2,
f 00
xy (a, b, c) = 2,
f 00
xz (a, b, c) = 3,
f 00
yz (a, b, c) = 1,
b) f 00